На сайте размещены статьи по русской истории, публицистика, философия, статьи по психологии, а также по грамматике русского и древнерусского языков, в частности – Слова о полку Игореве.

Дм. Добров

Относительность

Дм. Добров • 30 июля 2013 г.
Содержание статьи
Профессор

Понятие относительность стало популярным после появления теории относительности, но логичного объяснения, как ни странно, оно не получило — именно логичного, применимого к логическим моделям (математическим). Если существующие пояснения относительности на физических примерах счесть логичными, то знаменитую теорию логично бы было назвать теорией абсолютности — в том смысле, что абсолютный закон порождает разные значения, которые никакого отношения друг к другу не имеют, никак не относятся. Если, например, мы возьмем разные системы отсчета, где действуют постоянные законы механики, пусть разные планеты — разного размера (массы), то масса одного и того же тела на них будет, разумеется, разной. Значит ли это, что масса относительна? Допустим, но неужели, с точки зрения математики, множество значений функции содержит «относительные» величины и является «относительным»? Нет, но именно в таком духе и поясняют знаменитую относительность…

Наиболее простым и всем понятным примером относительных значений являются весы с двумя чашами: они выражают не какую-то абсолютную величину, а именно отношение между массами предметов, расположенных на чашах. Изменение массы на одной чаше влечет за собой изменение не массы на второй, а всего лишь их взаимного отношения. Весы с чашами — это идеальная относительная система, воплощение принципа относительности.

При взвешивании предметов на весах с двумя чашами мы вес одного предмета выражаем через вес другого, эталонный вес гирь. С точки зрения логики это действие можно назвать формализацией массы — выражением неопределенной величины через эталонную, логическую (математическую). Этот логический метод может применяться при решении задач любой сложности, в том числе алгебраических, как ни странно. Например, ниже мы рассмотрим формализацию знаменитого алгебраического утверждения Ферма, которая позволит понять смысл теоремы Ферма даже школьнику. Как ни странно, для формализации не является препятствием тот факт, что задача уже выражена в математических формах или формулах. Скажем, теорема Пифагора может быть доказана разными способами, причем не только геометрическими, но и алгебраическим.

Задание отношения между объектами, относительности, может использоваться в логических системах любой сложности — например, в программировании это даже банальность. Построение отношений является вторым мощнейшим логическим методом — после вывода. Относительные конструкции высокой сложности используются, например, в грамматическом предложении, да и вообще на любом множестве может быть задано то или иное отношение объектов, которое превращает множество в упорядоченное — алгебраическую систему. Простейшим примером последней являются тоже весы с двумя чашами — множество из двух объектов, на котором задано определенное отношение (отношение масс), причем объектами множества могут, конечно, быть иные множества.

Ниже мы все это рассмотрим в подробностях и на примерах, но начнем с рассмотрения традиционных представлений об относительности.

Относительность по Л.Д. Ландау

В попытке понять представления физиков об относительности обратимся к научно-популярной книжечке Л.Д. Ландау и Ю.Б. Румера «Что такое теория относительности». Изложение там очень простое, предельно, но это хорошо — обнажается логика. Вот один из примеров относительности, приводимых авторами в самом начале книжечки:

Мы часто говорим: наверху, внизу. Являются ли эти понятия абсолютными или относительными? На этот вопрос в различные времена люди отвечали по-разному. Когда люди еще не знали о шарообразности Земли, представляли ее плоской, как блин, вертикальное направление считалось абсолютным понятием. При этом предполагалось, что во всех точках земной поверхности направление вертикали одинаково и что вполне естественно говорить об абсолютном «верхе» и абсолютном «низе».

Когда же обнаружилось, что Земля шарообразна, вертикаль в сознании людей… пошатнулась.

В самом деле, при шарообразной форме Земли направление вертикали существенно зависит от положения точки земной поверхности, через которую проходит вертикаль.

В различных точках земной поверхности направления вертикалей будут различны. Поскольку понятие верха и низа потеряло свой смысл без указания точки земной поверхности, к которой относится, то это понятие из абсолютного превратилось в относительное.


Л.Д. Ландау. Ю.Б. Румер. Что такое теория относительности. Издание 3-е, дополненное. М.: Советская Россия, 1975, стр. 10.

Выше приведен простейший пример отношения между двумя объектами: при изменении одного объекта меняется не другой, а отношение между ними. Здесь же приведен пример функции, вывода: вектор силы тяжести (направление вниз) может быть установлен только в определенной точке земной поверхности, т.е. земная поверхность является областью определения функции, вывода понятия низ. При этом значения функции (разные направления вниз) никакого отношения друг к другу не имеют — друг из друга не получаются, друг через друга не выражаются и друг на друга не влияют. Разве независимые величины можно назвать относительными?

С бытовой точки зрения, которой и руководствовались авторы цитированной книжечки, не существует, вероятно, никакой разницы между отношением и выводом, однако с точки зрения математики (логики) это разные понятия. Да, можно говорить о том, что объект области определения функции (точка земной поверхности) относится к объекту области значений функции (направление вниз, вектор силы тяжести), но это отношение неизменно, абсолютно: это отношение и есть функция. В чем же здесь относительность? Выходит, относительность — это функция? Но это абсурд с точки зрения математики.

Нет, относительность авторы усматривают между разными значениями функции, разными направлениями вниз в разных точках земной поверхности, но эти направления, повторю, друг от друга никак не зависят, а соотносятся только в невежественном воображении человека, который думает, что понятие низ абсолютно, а не функционально. Стало быть, относительность — это не научное понятие, а вымыслы невежественного воображения? Увы, именно это и утверждают авторы цитированной научно-популярной книжечки.  

На нескольких примерах функциональных, а не относительных систем авторы проводят высказанную выше мысль: в разных системах отсчета мы получаем разные значения закона (функции), что и является в их представлении относительностью. Беда же в том, что с точки зрения математики (логики) физическое понятие система отсчета произвольно, бессмысленно. Системой отсчета считается просто система координат, что вообще никакого смысла не имеет — с действительностью никак не соотносится. Смысл же возникнет только в том случае, если системой отсчета — алгебраической системой — считать множество объектов, на котором определены те или иные отношения и операции (функции), т.е. в разбираемом случае такой системой будет планета Земля, а не точка земной поверхности. Увы, бессмысленное понятие система отсчета — это огромный недостаток современной физики. Ниже мы попробуем немного прояснить это понятие.

В алгебраической системе могут быть определены и отношения, и операции, причем во многих системах есть главное действие, определяющее систему,— отношение, как на весах, или операция, как сказуемое в предложении. Таким образом, все алгебраические системы можно поделить по меньшей мере на относительные и операционные (функциональные). Общность между ними призрачна, так как относительные системы часто носят гипотетический характер, недействительный в том смысле, что их невозможно представить как объект во времени, например здесь и сейчас. Весы — это редкий пример действительной относительной системы.

Относительность в функциональных системах

Наиболее простым и понятным примером функциональной алгебраической системы, в которой всегда присутствует та или иная относительность, является грамматическое предложение. Эта система недействительна только в том смысле, что элементами множества являются недействительные объекты, слова. Гипотетической же она не является, т.е. существует в действительности как логическое целое.

В предложении относительность реализована в точности так, как показано выше на примере весов: при изменении синтаксической функции одного из объектов меняется и отношение между ним и связанными с ним членами, т.е. смысл предложения, поскольку все члены связаны друг с другом через сказуемое, организованы по правилу сказуемого, отнесены к сказуемому. Во времени, здесь и сейчас, относительная конструкция тоже может существовать в предложении, но тогда предложение перестанет быть логичным, однозначным. Ну, очевидно в общем случае, что если в предложении существует отношение с возможностью выбора значения, своеобразные «весы», то предложение будет иметь уже два значения, т.е. перестанет быть функциональным. Существуют, впрочем, некоторые исключения из этого очевидного правила, о чем ниже.

Исследующие предложения логики, называющие себя математиками, дружно делают описанную выше ошибку — принимают функциональность за относительность, неопределенность, своего рода «парадокс». Вот, например, ложное утверждение, основанное на непонимании смысла функции:

Парадокс лжеца. Этот парадокс известен в нескольких модификациях. Простейшая из них – парадокс, связанный с человеком, который говорит: «Я лгу»; если он лжет, то он говорит правду, и наоборот.


Х. Карри. Основания математической логики. М.: Мир, 1969, стр. 23.

С формальной точки зрения утверждение «Я лгу» выражает функцию, областью определения которой является ложь. Соответственно, функция действительна только в том случае, если человек лжет, если значение функции соответствует лжи. Иначе говоря, существующая функция, определенная, является истинной, это правда, это по заданному правилу «лгать», а не существующая – ложной, неправильной. В чем именно состоит парадокс? В том ли, что слово лгать в выражении «я лгу» не совпадает со словом ложь, которым характеризуют проверку функции на истинность? А почему они должны совпадать, если это разные слова и даже разные понятия?

Для лучшего понимания сказанного рассмотрим простой пример, утверждение «это выражение меньше единицы». В качестве значений данной функции можно выдумывать любые утверждения, совершенно любые, но действительны среди них будут только те, значение которых меньше единицы. Если здесь нет ничего удивительного, то почему должно удивлять утверждение «я лгу» или «это ложь», которое тоже действительно только в том случае, если звучит ложь, если значение соответствует заявленной области определения? Почему, например, истинное выражение «2 + 2 = 5 есть ложь» должно рассматриваться как парадокс? Ведь это абсурд.

Относительность в сказуемом выражается не смысловым путем, а синтаксическим (логическим). Наиболее простым отношением в предложении является порядок слов, существующий в некоторых языках. Например, если мы меняем порядок слов, то получаем уже вопросительное предложение, логическое выделение и т.п.

Существуют также синтаксические формы, которые принимают то или иное значение в зависимости от наличия прочих членов предложения. Наиболее просто выглядит английское причастие прошедшего времени с окончанием ed, которое в отсутствии сказуемого является сказуемым, а в присутствии — определением (подлежащего или сказуемого, там нет, кажется, разницы, относительно). На английское причастие по синтаксической роли очень похож имперфект древнерусского языка.

Заметно более сложно выглядят т.н. двойные падежи. По происхождению в рамках двойных падежей следует рассматривать относительные обороты с неличными формами глагола, например:

— Но приидетъ часъ, да всякъ, иже оубиетъ вы, возмнитъ ся службу приносити богу, Ин. 16, 2.– Возомнит себя службу приносящим богу.

Здесь часть ся служит одновременно и дополнением, и подлежащим оборота со сказуемым приносити, т.е. она относительна, относится сразу к двум величинам. Такой же оборот есть в современном английском языке, например I see her to run, Я вижу ее бегущей. Фактически данный оборот вводит придаточное предложение «что она бежит», «что он службу приносит богу», но придаточное предложение не относительно.

Вероятно, обороты такого рода родились из двойных падежей, например постави Ярослав Лариона митрополита (митрополитом), постави мя попа (попом) и т.п. Эта конструкция неформальна, т.е. на основании одинаковой формы мы не можем отличить один падеж от другого — только по смыслу. Второй падеж (винительный в данном случае) является одновременно определением сказуемого и классом дополнения, т.е. множеством: поставил Ярослав Лариона в митрополиты, возомнил себя в службу приносящих богу (в числе их, классе).

В современном русском языке остался только двойной именительный, но второй падеж в данной связке может выражать только класс подлежащего, например он был хороший человек. Формально все сохраняется, все связи существуют, но вторые падежи, не являющиеся классом подлежащего, уже не используются. Если же в древнерусском тексте встречается двойной падеж, не укладывающийся в современную логику, то в переводе обычно возникает полная чушь:

Текст: И от техъ варягъ прозвася Руская земля, новугородьци, ти суть людье ноугородци от рода варяжьска, преже бо беша словени.

Перевод: И от тех варягов прозвалась Русская земля. Новгородцы же – те люди от варяжского рода, а прежде были словене.


Повесть временных лет. Издание второе, исправленное и дополненное. СПб: Наука, 1999,  стр. 13, 147 // Подготовка текста, перевод, статьи и комментарии Д.С. Лихачева.

В подлиннике два двойных именительных — «Руская земля новугородьци» и «людье ноугородци от рода варяжьска», связывает которые сложный относительный союз ти, никакого значения не имеющий, но вводящий связь, отношение:

И коли от тех варягов прозвалась Русская земля новгородцами, то стали люди «новгородцами от рода варяжского», а прежде были славяне.

В современном русском языке рассмотренной относительности уже нет, вероятно за близостью ее к гипотетическим системам, но появилась относительность времени в сказуемом. Время русского сказуемого зависит от совершенности действия, а совершенность действия — от времени. Возникают как бы весы, на которых в предложении взвешиваются действие и время.

Рассмотрим простой пример — два слова в прошедшем времени делал и сделал. Изменим их окончание, чтобы получить настоящее время: делаю и сделаю. Мы видим, что глагол будущего времени сделаю выражается формой настоящего времени, но действие это совершенное. Если удалить из глагола приставку, выражающую совершенность действия, то получим настоящее время глагола, а если снова добавить — то будущее. Это и есть те самые «весы», относительная величина, т.е. время в русской грамматике рассматривается относительно действия — буквально так, как в знаменитой теории.

Альтернативой существующей системе сказуемого является древняя, которая в целом соответствует синтаксису современного английского языка, например составное сказуемое умерлъ есть. Здесь тоже наблюдается своеобразная относительность: в главном слове (есть) выражено только время происходящего, а в причастии (умерлъ) — только непосредственно происходящее. Ныне подобная конструкция возможна, например начал делать, пойду гулять и т.п.

Подобный подход к грамматическому времени (чей подход?) представляется теоретически правильным, так как время является не самостоятельной физической величиной, а относительной математической, т.е. смысл имеющей только в отношении. Время — это область определения физических процессов, чисто формальная математическая величина, но действительная, не гипотетическая. Физического смысла время не имеет, т.е. объяснить, что такое время, без использования математических понятий не удастся. Скорость в физике — это первая производная пути по времени, ускорение — вторая, резкость — третья… Под производной же имеется в виду отношение приращения значения функции к приращению значения области ее определения (точнее речь следует вести о пределе этого отношения, но для понимания сути вещей это не важно). Например, если человек прошел пять километров за час, то указанное отношение составит его скорость — 5 км/ч. Иначе говоря, время — это всего лишь характеристика изменения координаты.

Действительные алгебраические системы отличаются от гипотетических именно своей определенностью во времени. Иначе говоря, время в них имеет смысл. Позвольте, скажет здоровый потребитель, зачем же мне нужна система, которая не имеет смысла во времени, в действительности? Куда же я ее приспособлю? Что ж, приспособить ее можно, например, для представления информации, но это уже следующий вопрос нашего рассмотрения.

Относительность в гипотетических системах

Гипотетическая система есть абстракция, а потому ввести ее определение можно только при помощи математики. Рассмотрим для примера т.н. теорему Кантора, суть которой состоит в том, что число связей в гипотетическом множестве больше числа его элементов. Звучит же она следующим образом: кардинальное число (число элементов) множества всех подмножеств множества М больше, чем кардинальное число множества М. Теперь представьте себе на столе три монетки по рублю. Можно ли будет выполнить на них теорему Кантора, т.е. разложить их по кучкам, число которых будет больше трех? Здесь и заключена разница между нормальным множеством и гипотетическим: в гипотетическом выполнится теорема Кантора, т.е. число его связей (подмножеств) будет больше числа элементов. Некоторые же исключения рассмотрены выше: в грамматическом предложении возможны конструкции, которые имеют двойственные связи, превращая предложение в неоднозначное, нефункциональное… Но, заметьте, русский язык ушел от гипотетических конструкций почти совсем.

Уподобление подмножеств связям носит, может быть, произвольный характер с точки зрения гипотетического множества, но в действительности это выполняется, как нетрудно убедиться на примере грамматического предложения. Подмножеством в нем является словосочетание, т.е. так или иначе связанные элементы, связь. Число же подмножеств может превосходить число элементов только в относительной конструкции, с выбором на «весах». Например, в предложении человек пошел прогуляться имеется четыре связи, что превышает количество объектов, но предложение тем не менее остается однозначным в силу ассоциативности двух пар связей, равенства: человек * (пошел * прогуляться) = (человек * пошел) * прогуляться, где вторая часть равенства возможна, так как инфинитив может быть присоединен союзом: человек пошел, чтобы прогуляться

Если же двойственная связь не ассоциативна, то предложение перестает быть логичным, однозначным. Вот, например, перевод одной из Енисейских надписей: «Под геройским именем вскормлен Акбаш я». Двойственность здесь очевидна, относительность:

  1. Я, Акбаш, вскормлен под геройским именем.
  2. Я вскормлен под геройским именем Акбаш.

К сожалению, нет уверенности в том, что Акбаш (белая голова) — собственное имя… Отсюда и двойственность. Белый в тюркском мире — это был, наверно, цвет власти, как у нас была белокаменная Москва, а потому белоголовые могли представлять собой нечто вроде гвардии.

Стало быть, в гипотетическом множестве количество подмножеств будет более количества элементов. Примером гипотетического множества являются т.н. вероятностные распределения. Наиболее простое из них можно получить путем статистического анализа подбрасываний монеты на предмет выпадения орла или решки. Подбрасывайте монету и в случае выпадения орла ставьте короткую горизонтальную черточку в один столбик, а в случае выпадения решки — в соседний. Если вы подбросите монету несколько сотен раз, то столбики должны оказаться приблизительно равными по высоте. Это нормальное распределение частот (симметричное), или распределение Гаусса.

Если вы захотите подвергнуть анализу более широкий набор значений, например рост граждан страны, то значения должны распределиться столь же симметрично относительно среднего арифметического, с той лишь особенностью, что наиболее высокие столбики будут около среднего значения, а по мере удаления от него – все ниже и ниже… Понятно, это значит, что наибольшее количество людей обладает средним ростом или около того. Совокупность столбиков будет напоминать волну или колокол с пиком на среднем значении или около того.

Данное распределение может быть описано формулой, зависимостью рода f(x), но следует помнить, что физической функцией оно не является, т.е. носит гипотетический характер. Наиболее просто это понять в случае с монетой: на деле никаких двух объектов, подмножеств, не существует — монета у нас одна, единая и неделимая, а рассмотрению подвергается чисто гипотетическая величина — случайное событие; даже и количество гипотетических подмножеств равно трем (совокупность столбиков тоже является подмножеством, значимой для нас величиной). То же самое и с ростом людей: люди одного роста никакого действительного подмножества не образуют — друг с другом никак не связаны. Это случайные наборы элементов, которые, парадокс, подчиняются определенному правилу — распределению случайностей, отношению их друг к другу. В этом и заключается принципиальное отличие между распределением и отображением (функцией): значения функции друг от друга не зависят, как показано выше.

Попытка уравнять распределение и отображение ведет к грубейшей логической ошибке, причем, как это ни поразительно, данную ошибку способен совершить даже человек, считающий себя математиком. Для понимания сути лучше всего будет рассмотреть живой пример. Вот отрывок из статьи некоего Александра Шеня, кандидата физико-математических наук и сотрудник Института проблем передачи информации РАН, как нетрудно узнать в интернете:

Графики
Рис. 13. График из [29], названный там «зависимость распределения голосов по кандидатам в процентах от списочного состава УИК в зависимости от явки».

[…]

Кроме того, авторы [29] без особых комментариев приводят еще график, который, судя по всему, противоречит их собственным гипотезам (рис. 13). Они называют его «зависимость распределения голосов по кандидатам в процентах от списочного состава УИК в зависимости от явки (город)». Можно предположить, что он получен усреднением ординат в точках графика типа рис. 2, имеющим абсциссу в данном интервале (хотя от авторов научной статьи стоит ожидать более точного описания, не требующего догадок – заметим, что в статьях оппонентов, на которые они отвечают, приводятся конкретные графики). Но если так, то это как раз противоречит идее авторов об однородности группы – поскольку в пределах этой группы воспроизводится странная закономерность рис. 2 (рост по явке вызывает рост голосов за Медведева, но не за остальных, у которых видно даже некоторое падение).


Грубейшая ошибка выделена жирным шрифтом. На графике ДМ, выделенном синим цветом, нет процентного роста голосов за Медведева в связи с ростом явки, т.е. доля отданных за Медведева голосов остается постоянной на всех участках. Вдумайтесь: на участках, где больше явка, за Медведева было отдано и больше голосов, закономерно, но в процентном-то отношении количество голосов за Медведева везде одинаково. Чтобы убедиться в этом, возьмите калькулятор и в любых точках графика высчитайте отношение значения на вертикальной оси к значению на горизонтальной, т.е. вероятность победы Медведева. Все высчитанные значения будут приблизительно одинаковы (разброс будет небольшой около значения 0,7, как видно по участку с явкой 100%). Мало того, если вы высчитаете в тех же точках равные отношения для прочих кандидатов, то в сумме для каждой точки каждые четыре числа дадут приблизительно единицу, т.е. 100%.

Если же вы знаете математический анализ, «высшую математику», то можно и не считать: графики представляют собой практически линейные зависимости, откуда сказанное очевидно. Просто поразительно, что А. Шень, кандидат физико-математических наук, не владеет элементарными сведениями математического анализа, которыми должен владеть всякий человек, получивший «высшее» образование. О фальсификации можно было говорить только в том случае, если бы синий график, ДМ, представлял собой возрастающую нелинейную зависимость, например экспоненту в каком-нибудь приближении, т.е. если бы в связи с ростом явки увеличивалась бы доля голосов, отданных за Медведева, если бы возрастала вероятность победы Медведева. Кстати, это можно понять и без знания «высшей математики» — достаточно лишь вдуматься.

При «общечеловеческом» взгляде на графики впечатление складывается такое, что зеленый и красный графики горизонтальны, т.е. доля голосов, отданных за Жириновского и Зюганова уменьшается… Но это не так, они все же немного возрастают (посчитайте отношение, вероятность). К тому же здесь следует вспомнить об относительности данной системы: все изображенные на графиках величины зависят не от некого постороннего закона, а друг от друга. Иначе говоря, если доля голосов, отданных за Медведева, очевидным образом не растет, то не может и падать совокупная доля голосов, отданных за Зюганова и Жириновского (голосами Богданова можно пренебречь в связи с малым их количеством). Фальсификацию можно бы было заподозрить только в том случае, если бы сумма долей голосов всех кандидатов составила величину, отличную от единицы, но этого нет: сумма долей, вероятностей, приблизительно дает теоретическую единицу. Посчитайте, чтобы уж точно убедиться.

Принципиально ошибка Шеня и ему подобных заключается в том, что они видят в графиках выражение некоего закона, функции, а не относительные величины, зависящие только друг от друга и никакому закону не подчиненные. Впрочем, даже по такому раскладу они бы не совершили ошибки, если бы понимали, философски говоря, смысл чисел. Изображенная картина принципиально может быть рассмотрена и как функциональная, и как относительная, а дело в том, что вероятность и производная функции в данном случае одно и то же.

Чисто формально производная функции рода изображенных на рисунке, y = kx + b, будет равна числовому коэффициенту k, который, в свою очередь, является тангенсом угла, образуемого графиком функции с положительным направлением оси Х и вычисляемого как отношение координаты Y к координате X. Но последнее отношение на приведенных графиках также составит вероятность.

Разумеется, правило равенства вероятности и производной должно выполняться только в действительных алгебраических системах, системах случайных событий, системах отсчета. Например, при бросании монетки вероятность выпадения орла или решки тоже сохранится постоянной, но при построении распределения роста людей ничего подобного уже не будет… Отсюда мы приходим, кажется, к определению системы отсчета, действительной алгебраической системы. Последняя — это множество с постоянными вероятностями, гипотетическое или нет, все равно. Впрочем, имеет ли в данном случае смысл понятие вероятность?

При анализе вероятностных распределений мы можем уйти от неопределенного понятия вероятность, жестко связанного со случайным событием, и использовать понятие передаточное число множества (системы). Поясним на примере, почему рассматриваемая величина является передаточным числом множества. Пусть требуется найти вероятность выпадения одного из первых четырех очков на кубике, который, как известно, имеет шесть граней, шесть очков. Вероятность эта будет равна 4/6, но дело не в этом, а в определении наших действий, теоретическом обосновании. При определении вероятности вводится понятие случайное событие, т.е. предполагается, что для теоретического обоснования действий нужно кидать кубик. Но нужно ли это? Чтобы найти приведенную выше величину, согласитесь, ничего кидать не нужно, более того, мы можем изменить приведенную задачу так, что событие или действие вообще потеряет всякий смысл. Скажем, представьте себе, что некоему начальнику подчинена группа из шести человек, четверо из которых его безусловно поддерживают. Здесь нет никаких событий, тем более случайных, но для характеристики этой группы по отношению к начальнику мы можем использовать прежнее отношение — 4/6. Это и есть передаточное число множества, коэффициент полезного действия относительно той или иной величины, в рассматриваемом случае — относительно поддержки начальника. Буквально то же самое изображено на приведенных выше графиках — распределение по явке голосов, отданных за того или иного кандидата.

Таким образом, мы можем несколько изменить понятие действительная алгебраическая система: это множество с постоянными передаточными числами. Если же передаточное число множества представляет собой переменную величину, рассчитываемую, например, по формуле Гаусса, то это уже недействительная алгебраическая система. Гипотетическим же множеством может быть и действительная система, и недействительная.

Понятие передаточное число приводит нас фактически к возможности дифференциального счисления во множествах, причем не только в гипотетических. Впрочем, счисление это лучше назвать не дифференциальным, а относительным, т.е. учитывающим изменение величины в зависимости от другой величины. Рассмотрим этот метод на простейшем примере, школьной задачке по математике:

В классе 28 человек. Отношение числа девочек к числу мальчиков равно 4/3. Сколько в классе девочек?

Можно решить эту задачку обычным путем, составлением уравнений, но гораздо проще будет решить ее через заданное отношение, путем относительным.

Нам дано отношение числа девочек к числу мальчиков, которое на фоне множества тех и других, класса, мы можем рассматривать как отношение вероятностей случайного выбора из класса девочки и мальчика. Обе же вероятности, как  учили, дадут в сумме единицу. Поскольку при сложении дробей до единицы числитель получается равным знаменателю, мы легко высчитываем знаменатель: 4 + 3 = 7, т.е. вероятности будут 4/7 и 3/7, что в отношении и даст 4/3, а в сумме — единицу. Полученные вероятности будут, разумеется, пропорциональны числу учеников класса, а чтобы найти коэффициент пропорциональности, мы должны 28 поделить на 7, что даст 4. Далее легко получаем количество девочек, умножая числитель вероятности случайного выбора девочки на найденный коэффициент пропорциональности: 4 × 4 = 16. Это значит, что вероятность случайного выбора девочки будет 16/28 = 4/7. Число же мальчиков, соответственно, будет 28 – 16 = 3 × 4 = 12.

В алгебраических системах, как видим, можно с успехом пользоваться методами относительности, но примечательность этих методов состоит в том, что относительную конструкцию можно создать искусственно для решения задачи, превратив, таким образом, в алгебраическую систему даже произвольную величину…

Формализация как относительный метод

Современная математика склонна понимать формализацию как символизацию — представление материала в символах, но это, к сожалению, скорее философия, чем математика. Весьма сомнительно, что символизация ведет к строгости изложения, а не запутывает это самое изложение окончательно. Дело в том, например, что если в соответствие неопределенному понятию поставить символ или их группу, то от этого неопределенное понятие станет отнюдь не определенным, а окончательно запутанным и неясным…

Выше мы уже несколько раз столкнулись с формализацией неформальной задачи — переводом ее в математические формы. Первый раз мы формализовали проблему, когда представили понятие «направление вниз» как математическую функцию, второй раз — когда рассмотрели «парадокс» лжеца, тоже представив его как математическую функцию. Оба раза это привело к совершенно ясному пониманию проблемы, легкому решению ее, хотя, например, «парадокс» лжеца по сей день не разрешен ни единым из «логиков» (годочков уж сто, а то и больше). Если вы почитаете их «литературу», которая, к слову сказать, к математике вообще никакого отношения не имеет, т.е. не требует математической подготовки, то увидите там столь жуткое нагромождение символов, что ничего не поймете (если, конечно, не занимались математикой, которая тоже перегружена символикой). Разве это не символично?

Третий раз мы формализовали уже формальную задачу – задачу о количестве девочек класса. Мы просто перевели ее на иной язык, язык множеств, что позволило прийти к решению иным путем, без уравнений. В данном случае отказ от решения уравнений был некритичен, но нетрудно вообразить задачу, где отказ от решения уравнений уже необходим. Например, это уравнение Ферма xn + yn = zn, которое, как заявил Ферма, не имеет целых положительных решений при n > 2. С точки зрения алгебры это уравнение неразрешимо, решить его просто невозможно, т.е. прямой путь для решения задачи отсутствует. Вместе с тем никто не мешает нам рассмотреть это уравнение уже привычным аналитическим образом — как функцию от n.

Рассмотрим значения f(n) при n = 1 и n = 2. В первом случае, применив геометрическое представление, мы получим в значении функции отрезок, разбитый надвое, т.е. алгебраически х + у = z, а во втором — прямоугольный треугольник, т.е. x2 + y2 = z2 по теореме Пифагора. Могут возразить, дескать в первом случае мы тоже можем получить треугольник, но это ошибка: мы рассматриваем f(n), а не f(x, y, z), т.е. значения функции при n = 1 и n = 2 не должны совпадать, но должны составлять общность в классе (множестве значений функции) — фигуру. На приведенных двух значениях нетрудно заметить, что полученная в значении фигура с ростом n приобретает следующее измерение: при n = 1 мы имеем одномерную фигуру, а при n = 2 — уже двумерную. Следовательно, при n = 3  мы должны получить трехмерную фигуру, скажем треугольник, вытянутый в третье измерение, сферу, и так далее с ростом n. Но очевидно, что при n = 3 никаких целых решений не будет, так как высчитать длину отрезков на сфере мы сможем только при помощи иррационального числа π, использование которого никаких целых чисел не предполагает — ни положительных, ни отрицательных. Четвертое же и прочие измерения и вовсе будут недействительны. Таким образом, уравнение Ферма не имеет целых решений при n > 2, т.е. при n > 2 f(n) не существует.

На данном примере очень хорошо видно, что такое формализация — логичная подмена понятий, производимая для значительного упрощения рассуждений, выводов. Впрочем, в случае с теоремой Ферма была ли подмена понятий? Ферма заявил именно функцию от n, целых положительных чисел, и мы ее рассмотрели в доступных геометрических образах, вне символизма.

Формализация какой-либо задачи вовсе не отрицает иной ее формализации, иного относительного представления, если это представление будет математическим (логичным). Скажем, на теорему Ферма мы могли бы взглянуть с точки зрения приведенной выше аксиомы о постоянстве производной в действительной алгебраической системе. При n = 1 мы получим постоянную производную каждого члена множества, уравнения Ферма, а при n = 2 — линейную функцию в качестве производной каждого члена. Отсюда можно предположить, что в действительной алгебраической системе производная может быть не только постоянна, но и составлять линейную функцию – так сказать, равномерное поступательное движение, но любопытный этот вопрос касается уже не относительности, рассмотренной в данной статье, а развития общей теории алгебраических систем, намеки на которую мы и привели выше.

Заключение

Относительность как логический метод не предполагает получения «относительной» истины. Истинным с точки зрения математики является значение, полученное по правилу, правильное значение. И если относительные понятия построены по действительным правилам, а функция, например,— действительное правило, то любая формализованная при их помощи система тоже будет истинной, правильной.

Многие думают, что математическое доказательство должно представлять собой нечто вроде решения алгебраического уравнения — пошаговые формальные преобразования. Но таким путем можно решить далеко не каждую задачу — тем более если задача не учебная, т.е. составленная именно для выполнения пошаговых формальных преобразований. Суть нового метода заключается не в выполнении пошаговых формальных преобразований, а в построении теории, в рамках которой рассматриваемая проблема окажется простой или даже элементарной. Если построенная теория будет формальна, то оба метода будут вполне равноправны.

Предложенный метод идет вразрез с течением современной математики, которое к математике уже отношения не имеет, но называется математическая логика. Эта логика не нуждается в причинно-следственных связях, никак их не использует, даже подчеркнуто избегает, да и вообще, не способна дать ответ на простейший вопрос: что такое следствие? С точки зрения изложенного выше, следствие — это значение функции. Зная это, любой человек сможет объяснить, почему высказывание «если 2 × 2 = 5, то 2 × 2 = 4», признаваемое в математической логике истинным, никакого отношения к истинным высказываниям не имеет. Ну, где функциональная зависимость между частями высказывания? Где следование в общепринятом смысле?

Конечно, подмена понятий никогда не будет выглядеть столь же строго, как пошаговые формальные преобразования, но существуют отнюдь не учебные задачи, которые просто невозможно решить путем пошаговых преобразований, без обращения к смыслу высказывания, хорошим примером чему является «парадокс» лжеца. Ну, как можно разрешить этот «парадокс», если не проникновением в его суть? Никак, он и не разрешен.

Многие математики презирают «здравый смысл», этот неизменный спутник истины,— просто потому, что у всякого он свой. Действительно, для одного приведенная выше связка арифметических выражений является логичной, а для другого — абсурдной. Как можно объединить сторонников этих взглядов? Объединить их можно очень просто: истина достижима, если в основании «здравого смысла» будут лежать математические понятия и формы. Каким же образом можно правильно положить в основание «здравого смысла» математику, показано выше. Это и есть логика, математическая логика, потому что другой не бывает.

Зову живых