На сайте размещены статьи по русской истории, публицистика, философия, статьи по психологии, а также по грамматике русского и древнерусского языков, в частности – Слова о полку Игореве.

Дм. Добров

Математическая логика

Дм. Добров • 5 сентября 2016 г.
Цифровая логика

Что такое логика? В самом общем представлении это набор правил для получения истинных значений, выводов, а математическая логика — это, соответственно, набор математических правил для той же цели. Отсюда основанием всякой логики должно быть определение логического вывода и полученного значения вывода, следствия, а также, разумеется, и мера истинности вывода, правило проверки действия на истинность. В математической же логике, дисциплине, изучаемой в высших учебных заведениях, все перечисленное попросту отсутствует. Вывод в ней подменяют произвольные отношения между двумя объектами, названные импликация (связь, следование), например если 2 × 2 = 4, то 3 × 2 = 6.— Возникает закономерный вопрос: как в данном следовании отражены ключевые для логики понятия вывод и логическое следствие? Как из приведенной формулы импликации понять, что такое вывод и что такое следствие как значение вывода? Ответ прост: это невозможно просто в принципе.

Дисциплина, заявленная как математическая логика, не является логикой в общепринятом смысле и даже к математике отношения не имеет.

В приведенной формуле якобы вывода установлены отношения истинности между двумя операциями, которые отношения, согласно произвольному определению, являются ложными только в том случае, если операция, изображающая следствие, является ложной, т.е., например, высказывание если 2 × 2 = 4, то 3 × 2 = 7 будет ложным с точки зрения математической логики, а высказывание если 2 × 2 = 5, то 3 × 2 = 6 — истинным. Абсурдность этого построения, алогичность его, очевидна. В общепринятом употреблении понятие истинность может применяться как к отдельным операциям, например 2 × 2 = 4, так и к их отношениям через связку «если – то», но последнее возможно только в том случае, если исходная операция или отношение дает в значении величину, которая становится областью определения следующей операции или отношения, например если х < 5, то х + 2 < 7 или если вчера был четверг, то сегодня пятница. Это и есть математический вывод в формальном представлении ­— следование как функция. Иначе же говоря, логическое следствие есть значение функции.

Увы, определение импликации в математической логике показывает, что люди, занятые этой вроде бы математической дисциплиной, даже приблизительно не представляют себе, что такое функция — одно из центральных понятий математики. Не понимают они также, что такое класс, поскольку определение импликации не устанавливает единого класса операций в рамках импликации, т.е. истинным с точки зрения математической логики будет, например, следующее абсурдное высказывание: если 2 × 2 = 4, то Земля вращается вокруг Солнца. Вот для сравнения оценка такого рода положений В.И. Арнольдом, известным математиком:

Раз уж я стал разбирать это руководство, процитирую из него еще одно место. Речь идет теперь об определении науки математики, чтобы студенты знали, что им предстоит:

«Математика есть наука о доказательствах, доказательства – это цепочки импликаций: (из А вытекает В, из В вытекает С) – цепочка; вывод: доказано, что из А вытекает С. Итак, самое главное – понять, что такое одна импликация. Вот ее определение. Пусть А и В – два произвольных высказывания. Если оба они верны, то говорят, что из А вытекает В».

На мой непросвещенный взгляд, такая точка зрения на импликации (а следовательно, и на доказательства, и на математику) – чистое мракобесие. При таком определении из того, что дважды два четыре, следует, что Земля вращается вокруг Солнца. Студента, понимающего выводы и доказательства подобным образом, уже бесполезно учить какой-либо естественной науке: мракобесие уничтожает естествознание как таковое. По этой мракобесной логике Галилея поделом наказывали: он ведь говорил о своих доказательствах вращения Земли и других подобных фактов совсем в другом смысле.


Также о непонимании математическими логиками термина функция свидетельствуют некоторые т.н. парадоксы, которые отнюдь не являются парадоксами с точки зрения математики. Рассмотрим для примера «парадокс» лжеца и схожий парадокс Рассела. Первый определяют следующим образом:

Парадокс лжеца – утверждение «То, что я утверждаю сейчас – ложно» (либо «Я лгу», либо «Данное высказывание – ложь»).

Если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание – ложь; но если оно – ложь, тогда то, что оно утверждает, неверно; значит, неверно, что данное высказывание – ложь, и, значит, данное высказывание истинно. Таким образом, цепочка рассуждений возвращается в начало.

Считается, что этот парадокс был сформулирован представителем мегарской школы Евбулидом. Иногда это называют парадоксом Эпименида, приписывая его авторство Эпимениду.


Здесь отсутствует различие между областью определения функции и ее значениями, что никакого парадокса не составляет, ибо это логическая ошибка.

Человек говорит: «Я лгу». Если слова его соответствуют области определения функции (лжи), если это соответствие правильно, если это правда, то функция является определенной и, соответственно, значение ее истинно, т.е. человек действительно лжет. В противном же случае — если слова человека не соответствуют лжи — функция не является определенной и, соответственно, значение ее ложно. Парадокс здесь только в непонимании термина функция, а вернее — выбора как функции.

То же самое непонимание заключено в «парадоксе» Рассела:

Пусть K – множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если предположить, что содержит, то мы получаем противоречие с «Не содержат себя в качестве своего элемента». Если предположить, что K не содержит себя как элемент, то вновь возникает противоречие, ведь K – множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, а значит должно содержать все возможные элементы, включая и себя.


Этот «парадокс» можно было выразить гораздо короче и яснее: соответствует ли область определения функции области ее значений? Или, может быть, это одно и то же? Нет, конечно, и никакого парадокса здесь нет.

Объяснимся. Во множество K мы выбираем множества, которые не содержат себя в качестве элемента. Множества, которые не содержат себя в качестве элемента,— это область определения функции выбора, а полученное нами множество K есть итог преобразования, множество значений функции выбора. Противоречия никакого нет, ибо это разные множества. Увы, Бертран Рассел не понимал, что такое функция,— это и есть подлинный парадокс. Впрочем, при отказе от функциональной логики, не только от вывода, но даже и от функционального выбора (действительного, как понятно будет ниже), парадокс Рассела является действительным.

Рассмотрение «парадокса» Рассела может быть непонятным, а потому рассмотрим еще один пример, несколько более сложный, но и более показательный.

После сказанного возникает, разумеется, вопрос, возможна ли нефункциональная логика, которую упрямо пытаются породить новые европейские философы, называющие себя математиками? Да, логика выбора может быть логичной, но для этого она должна быть действительна, т.е. объекты ее должны существовать во времени и пространстве, если отвлечься от функции и определения ее. Для понимания этого рассмотрим еще один пример:

В теории множеств теорема Кантора гласит, что

Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.


Проще говоря, число элементов любого множества меньше, чем число элементов множества всех его подмножеств. Еще же проще говоря, число связей во множестве больше числа его элементов. Например, множество из двух элементов будет заключать три гипотетических подмножества (пустое множество опускаем): два по одному элементу и одно из двух, т.е. имеем как минимум три связи, ибо любое подмножество само по себе есть отношение, связь с вмещающим множеством, связь части с целым, или выбор части из целого; связь же возникает в общем случае, поскольку часть бессмысленна без целого, без связи с ним. Но если далее перейти от гипотетических множеств к действительным, существующим во времени и пространстве, то можно сформулировать антитеорему Кантора: число подмножеств какого-либо множества не может превышать числа элементов этого множества. Например, если на столе перед вами лежат две монеты, то разложить их можно максимум по двум местам, подмножествам, не более.

Если множество организовано хоть по какому-нибудь правилу, т.е. представляет собой т.н. алгебраическую систему (логическую), то можно утверждать, что правильно организованным даже гипотетическое множество будет только в том случае, если на нем будет выполняться антитеорема Кантора. Для примера рассмотрим следующее предложение, алгебраическую систему слов, множество, на котором определены синтаксические отношения и операции: Человек рубит дерево. Число возможных действительных подмножеств, словосочетаний, в данном случае ограничится двумя: Человек рубит и Рубит дерево (мы исключили из подмножеств сочетание трех членов, само предложение, ибо в противном случае множество нельзя будет формально отличить от подмножества, класса его, части целого). Если же число действительных подмножеств в данном случае будет больше трех, то появится неоднозначная связь, т.е. предложение станет нелогичным, не понятным, хотя и не обязательно полностью бессмысленным.

Приведенный пример, впрочем, можно усложнить: Человек пошел рубить дерево, взяв топор. Да, число гипотетических словосочетаний здесь может быть больше числа членов, но в действительности деепричастный оборот имеет с предложением одну и только одну связь (со сказуемым, конечно). Представить его на уровне связей можно так же, как сказуемое взял и пошел. Словом, чтобы предложение как алгебраическая система оставалось правильно организованным, логичным, число связей в нем не должно превышать числа объектов, как гласит антитеорема Кантора.

Перейдя к множествам Кантора, мы ушли от вывода в основании логики, но сохранили в основании действительный выбор, тоже функциональное действие, как ясно из рассмотрения «парадокса» Рассела и предложения. Поскольку же вывод должен существовать в действительности как порядок действий или действие, преобразование исходного объекта, то и выбор тоже должен существовать в действительности, т.е. быть определенным во времени. Это не значит, что от исследования гипотетических связей — не определенных во времени и пространстве — нужно отказаться, но разницу между гипотетическим множеством и действительным следует понимать. В математической же логике, разумеется, нет данного понимания.

Рассмотренная в качестве примера теорема Кантора показывает, что математическая логика, даже если пренебречь отсутствием в ней самого примитивного представления о причинно-следственной связи, выводе, функции, не может быть применена и в гипотетических множествах, в которых логика выбора вполне уместна, хотя она и должна быть функциональна по природе своей, действительна. Возникает вопрос, зачем нам такая «математическая логика» и откуда она вообще взялась?

К сожалению, происхождение «математической логики» наводит на мысль о психической неполноценности и ее создателей, из которых выделяется не столько Кантор, мысли которого о множестве следует назвать гениальными, несмотря на совершенно негодную попытку их применения в теореме, сколько немецкий математик Д. Гильберт. Ничтоже сумняшеся, он вознамерился доказать истинность самой математики, для чего и выдумал пост-математику, метаматематику, которую позже какой-то несчастный переименовал в «математическую логику». Увы, логика вне причинно-следственных связей — это не логика, а мракобесие, как справедливо заметил Арнольд.

Первая у нас публикация «научных» трудов по данной «логике» была в художественном журнале «Иностранная литература»: С.К. Клини. Введение в метаматематику. ИЛ, 1957. Возникает закономерный вопрос: откуда в редакции художественного журнала взялись знатоки математики? Они вообще там в своем уме пребывали? Увы, того не знаем. Но разве публикация в художественном журнале работы по псевдоматематике, пересыщенной тяжелыми для понимания логическими абстракциями, может быть признана деянием психически нормальных людей? Выглядит это гораздо менее разумно, чем, например, публикация в журнале «Русский балет» пронзительной статьи «Боль и печаль русских животноводов». Да-да, каждый может найти указанную работу Клини и ознакомиться с ней для проверки. Хотя для чтения ее ничего из математики и тем более иной науки знать не нужно, вообще ничего, читать ее сможет только тот человек, который привык к рассмотрению математических абстракций, т.е. далеко не каждый даже с «высшим» образованием, не говоря уж о прочих.

К сожалению, ныне «математическая логика» господствует в умах, что засвидетельствовал тот же Арнольд в своих выступлениях против Николя Бурбаки и вообще всего этого бурбакизма. Вот демонстрация «математической логики» во всей ее красе:

Французского школьника спросили: «Сколько будет 2 + 3?» Он ответил: «3 + 2, так как сложение коммутативно» (а сосчитать, что это 5, не мог). Основываясь на этом примере, министр науки и образования Франции хотел изгнать из школы математику.

Вот типичный пример задачи, с которой французские школьники легко справляются: «Доказать, что все поезда RER на планете Марс красно-синего цвета».

Вот образец решения:

Обозначим через Xn(Y) множество всех поездов системы Y на планете номер n (считая от Солнца, если речь идет о солнечной системе).

Согласно таблице, опубликованной CNRS там-то и тогда-то, планета Марс имеет в Солнечной системе номер 4. Множество X4(RER) пусто. Согласно теореме 999-в из курса анализа все элементы пустого множества обладают всеми наперёд заданными свойствами. Следовательно, все поезда RER на планете Марс красно-синего цвета.

Обучение математике, как своеобразной юридической казуистике, основанной на произвольно выбранных законах, начинается с самого раннего возраста: французских школьников учат, что любое вещественное число больше самого себя, что 0 – натуральное число, что всё общее и абстрактное важнее частного, конкретного. Студент четвертого курса одного из лучших парижских университетов спросил меня на письменном экзамене по теории динамических систем: «4/7 больше или меньше единицы?»


В.И. Арнольд. Нужна ли в школе математика? // Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков». Дубна, сентябрь 2000. М.: Издательство МЦНМО, 2000.

Обратите внимание, в решении приведенной задачи действительность «множества всех поездов», включающего в себя поезда на планете Марс, даже не обсуждается. Более того, не обсуждается даже действительность пустого множества… Да и правильно, ведь нуль — это «натуральное число», не правда ли? Вот это и есть «математическая логика», или, как ее определил Арнольд, юридическая казуистика, основанная на произвольно выбранных законах.

Мерой истины у Гильберта была, разумеется, не действительность, а всего лишь строгость изложения, как он понимал формализм. Отсюда предельно строгое изложение есть предельно истинное, пример чего и приведен в цитированной статье Арнольда. И эту чушь ныне изучают даже в университетах… Любопытно, с какой целью изучают-то, если все это к действительности не имеет ни малейшего отношения? Напомним, даже в гипотетических, но логичных моделях это неприменимо, как выше показано на примере рассмотрения теоремы Кантора. Изучать эту дисциплину совершенно бессмысленно, ибо она нигде не может быть применена, даже в математике. Это всего лишь новая философия символов, вполне уже безумная, шизофренического круга.

Увы, дегенеративные построения разума вроде «математической логики» отражают процесс превращения европейцев в варваров, но наши передовые люди привычно слизывают любые их идеи, не только показательно лженаучные, как, например, геополитика, но и откровенно уже безумные. Любопытно, а если они на стенку в конечном итоге полезут с пеной у рта, наши передовые люди вроде помянутых болванов из редакции «Иностранной литературы» тоже объявят это прогрессивным и достойным подражания? Ну, а что еще остается? Неужели своей головой думать? Шутишь — заболит еще.

Зову живых