На сайте размещены статьи по русской истории, публицистика, философия, статьи по психологии, а также по грамматике русского и древнерусского языков, в частности – Слова о полку Игореве.

Дм. Добров

Логика

Дм. Добров • 9 апреля 2014 г.
Клубок

Многие люди искренне убеждены, что существует некая научная логика и даже законы ее, якобы гарантирующие правильность мышления, но это в значительной степени заблуждение. Так, просто не существует исчерпывающего определения понятий следствие, логический вывод, истина… Подумайте, какая же научная логика возможна в принципе, если не существует строгого определения следствия и логичного вывода, приводящего к этому следствию, а также и самой истины? Ну, что есть истина?

Какая научная логика возможна после отказа ряда математиков от «законов причинности» [1], если эти законы и составляют самое средоточие логики?

Некоторые также склонны употреблять словосочетание формальная логика, но это уж и вовсе анекдот — построение выводов без обращения к смыслу понятий. Да, безусловно, существуют случаи, когда смысл понятия просто не требуется для построения логичного вывода, например в математике, которая оперирует символическими величинами, а не значимыми объектами, но отказ от смысла сам по себе никоим образом не гарантирует логичного рассуждения и даже формального. Например, больные шизофренией с отклонениями интеллекта часто рассуждают именно по указанному правилу — без обращения к смыслу понятий, «формально». Значит ли это, что их откровенно ложные суждения на самом деле истинны и научны? Если же нет, то что значит выражение формальная логика? Символьная, как думают многие? Увы, больные шизофренией склонны и к этому…

Как ни странно, многие рассуждения, признаваемые формальными, на деле не являются даже логичными, не только формальными. Это, например, некоторые рассуждения из области т.н. «математической логики», каковое словосочетание и само по себе является абсурдным. Дело в том, что математика и есть логика — набор понятий и правил для решения задач и построения теорий. Ну, и что же тогда значит выражение «математическая логика»? Логичная логика? Математическая математика? Увы, отказ от здравого смысла ведет только к безумию, причем не только в жизни, но и в математике, и вообще в любой науке. Да, но как же избежать отказа от здравого смысла? Где же искать этот самый здравый смысл, неизменный спутник истины?

Безусловно, математика является единственной на сегодня логикой, приемлемой не только в науке, но и в жизни — точнее говоря, для решения любых задач, имеющих логический характер. Дело в том, что названные выше понятия, загадочные для нас, но все же «интуитивно ясные», определить можно только в понятиях математики — исключительно. Кончено, для этого не придется писать запутанные математические формулы — все это предельно просто, на уровне основных понятий математики. Другого же пути не существует. Впрочем, можно, можно отправиться в мир шизофренических вымыслов вслед за «математическими логиками»…

Главной проблемой на сегодня является отсутствие не столько писаной логики, сколько привычки применять понятия математики (логики) для решения логических задач. Для примера рассмотрим т.н. «парадокс» лжеца, логический «парадокс»:

Парадокс лжеца – утверждение «То, что я утверждаю сейчас – ложно» (либо «Я лгу», либо «Данное высказывание – ложь»).

Если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание – ложь; но если оно – ложь, тогда то, что оно утверждает, неверно; значит, неверно, что данное высказывание – ложь, и, значит, данное высказывание истинно. Таким образом, цепочка рассуждений возвращается в начало.


Это не парадокс, но осмыслить его сможет только тот человек, который владеет математическим понятием функция. Таковых в мире, видимо, нет, поскольку нет и осмысления «парадокса» лжеца. Забавно, не правда ли?

Если говорить коротко и предельно просто, то с точки зрения математики значение функции (ложь) и результат проверки функции на истинность (ложь или истина) — это совершенно разные вещи, т.е. никакого парадокса нет, нет взаимоисключающих значений. Вдумайтесь, это несложно.

Любая существующая функция, в том числе речь человека, имеет свою область определения. Например, если человек говорит, я лгу, и при этом он лжет, то в данном случае функция лгать является определенной, истинной, т.е. она правильна, она «правдива» — функция, а не значение ее. Если же человек говорит, я лгу, и при этом не лжет, т.е. говорит правду, то функция лгать уже не имеет области определения, она ложна, неправильна. Иначе говоря, повторю, в одном случае мы имеем значение слова ложь, а в другом — истинность или ложность функции лгать. Соответственно, никакого противоречия здесь нет и в помине, нет парадокса, нет «высказывания, которое одновременно истинно и ложно». Это задачка уровня средней школы, но кто же решил ее даже из математиков? Никто. Ну, и можно ли после этого утверждать, что существует некая общепринятая логика?

Для разрешения «парадокса» лжеца мы применили логический метод, который следует называть формальным. Суть его заключается в переводе высказывания или задачи в математические формы или формулы — формализации материала. Обратите внимание, формализация вовсе не значит отход от здравого смысла, как поступают только больные шизофренией,— наоборот, формализация ведет к здравому смыслу, как мы видим на примере разрешения «парадокса» лжеца.

Для разрешения «парадокса» лжеца мы действовали не при помощи вымыслов своего воображения, как в приведенной цитате, а строго по правилам — использовали общепринятое математическое понятие функция. Иначе говоря, наш вывод правилен. Это и есть истина, как подсказывает сам язык: действия по правилам дают правильный вывод, истинный. Разумеется, можно придумать массу правил в вымыслах своего воображения, как, например, поступают те же «математические логики», но эти правила не будут объективны, т.е. не будут независимы от нас и вымыслов нашего воображения. Что же касается функции, то это понятие является действительным — существует в действительности, а нами только подмечено. Это понятие не вымышленное — заданное, аксиоматическое. Стало быть, и аксиома — это не «положение, принимаемое без доказательства», а действительное элементарное понятие (невыводимое).

Еще одним действительным элементарным понятием является логическое следствие — значение вывода, функции, т.е. преобразования заданного значения по определенному правилу, правилу вывода. Полученное в итоге преобразования значение будет, конечно, отличаться от исходного. Даже если, например, в итоге некоторых преобразований числа 5 мы получим тоже 5, никакого парадокса это не составит. Иначе говоря, функция не является парадоксом.

Также не является парадоксом разница между значениями функции. Должно быть понятно, что в зависимости от значения области определения функции мы совершенно естественно и правильно получаем разные значения функции.

Не являются значения функции и относительными, как полагал известный физик Ландау:

Мы часто говорим: наверху, внизу. Являются ли эти понятия абсолютными или относительными? На этот вопрос в различные времена люди отвечали по-разному. Когда люди еще не знали о шарообразности Земли, представляли ее плоской, как блин, вертикальное направление считалось абсолютным понятием. При этом предполагалось, что во всех точках земной поверхности направление вертикали одинаково и что вполне естественно говорить об абсолютном «верхе» и абсолютном «низе».

Когда же обнаружилось, что Земля шарообразна, вертикаль в сознании людей… пошатнулась.

В самом деле, при шарообразной форме Земли направление вертикали существенно зависит от положения точки земной поверхности, через которую проходит вертикаль.

В различных точках земной поверхности направления вертикалей будут различны. Поскольку понятие верха и низа потеряло свой смысл без указания точки земной поверхности, к которой относится, то это понятие из абсолютного превратилось в относительное.


Л.Д. Ландау. Ю.Б. Румер. Что такое теория относительности. Издание 3-е, дополненное. М.: Советская Россия, 1975, стр. 10.

Здесь та же самая логическая ошибка, что и у «математических логиков» при рассмотрении ими «парадокса» лжеца,— непонимание понятия функция. Вектор силы тяжести (направление вниз) может быть установлен только в определенной точке земной поверхности, т.е. земная поверхность является областью определения функции, вывода понятия низ. При этом значения функции (разные направления вниз) никакого отношения друг к другу не имеют — друг из друга не получаются, друг через друга не выражаются и друг на друга не влияют. Разве независимые величины можно назвать относительными? Относительными являются, например, две чаши весов, которые меняют свое положение относительно друг друга в зависимости от массы предметов, находящихся на них. В рамках же функционального преобразования никакая относительность невозможна.

Функция есть правило, по которому преобразуется определенный объект класса — области определения функции. Полученное в итоге преобразования значение тоже составит класс — область значений функции, все результаты функционального преобразования. Эти результаты, как уже сказано, будут независимы друг от друга, что следует помнить. Зависит же каждый из них от соответствующего значения области определения и правила преобразования.

В связи с последним утверждением возникает любопытный вопрос: что является причиной, если следствием является значение функции? В качестве непосредственной причины можно, конечно, рассматривать самое действие, приведшее к получению значения, но оно тоже может быть в той или иной степени обусловлено — может иметь свою область определения. В математике эта величина не рассматривается в силу специфики, но это не значит, что она недействительна. Чтобы отличать ее области определения, можно назвать ее, например, область условий.

От области определения функции также следует отличать классы, в которых осуществляется просто выбор, т.е. действие без преобразования объекта области определения функции. Если правило выбора нам не известно или не может быть установлено, такой выбор называют случайностью, случайным событием, например выпадение определенного числа очков на игральном кубике. Это не функция, так как никакого преобразования не происходит — отображения объекта области определения на объект области значений.

Основой логики, если, конечно, отвлечься от шизофренических вывертов, является именно вывод — функция, преобразование по правилам. С этой точки зрения логической ошибкой является вывод, произведенный по ошибочному правилу или вовсе без правил. Например, вывод, произведенный по субъективному или недействительному правилу, является логической ошибкой.

Как же на деле выглядит функциональное преобразование? В языке функциональное преобразование передается, например, формулой если — то. Рассмотрим пример: является ли функциональным выражение если 2 × 2 = 4, то 3 × 3 = 9? Нет, не является, поскольку выражение 2 × 2 = 4 не является областью определения приведенного заключения, да и никакого вывода здесь нет. Вместе с тем любое выводимое с математической точки зрения выражение будет верным, например если число делится на 4, то оно делится на 2. Этот вывод понятен и логичен, так как 4 = 2 × 2.

Возможна, впрочем, и логика на основании выбора, который тоже, конечно, действителен. Несмотря на то, что выбор как действие выглядит гораздо проще вывода, логика на основании выбора будет, пожалуй, сложнее чистой функциональной логики, логики вывода. Примером применения логики выбора является математическая статистика, использующая вероятностные методы — методы анализа случайных событий, выбора. В рамках статистики возможно, конечно, применять и функциональные методы, например строить зависимость одной величины от другой, но следует помнить, что построенная таким образом функция не обязательно будет действительна, т.е. не обязательно будет существовать еще и в действительности, а не только в вымыслах воображения. Считать гипотетическую зависимость действительной — это тоже логическая ошибка.

Логичное действие, таким образом, сводится принципиально к выбору или выводу, причем для построения истинных с нашей точки зрения высказываний, логичных, выбор или вывод должен быть однозначен. Примером является любое предложение русской литературы — однозначное высказывание (если бы предложения нашей речи были неоднозначны, мы бы просто не понимали друг друга). Однозначным предложение является в том смысле, что невозможно «иное прочтение» предложения, другое его значение наряду с первым. В этом же смысле однозначна и функция (да, в математике существуют многозначные функции, но они недействительны в указанном выше смысле). На языке математики неоднозначность тоже определяется просто: функция неоднозначна, если значению аргумента соответствует более одного значения функции. В объективной действительности, повторю, такого не бывает — только в вымыслах возбужденного разума. Доказать последнее нельзя — аксиома.

Однозначность высказывания крайне важна, это самое средоточие логики. Так, в светлые денечки даже функцию в математике стойко именовали «однозначным отображением». Построить же неоднозначное высказывание, например простое предложение, чрезвычайно сложно, но все-таки возможно. Вот, например, перевод С.Е. Маловым одной из Енисейских надписей тюрков:

— Äр атым Jаш ак баш бäн.

— Мое геройское имя «Яш Ак баш» (молодой белоголовый; или молодой «Седая голова») – я.


С.Е. Малов. Енисейская письменность тюрков. М.-Л.: Издательство Академии наук СССР, 1952, стр. 14.

В подлиннике, действительно, два именительных, но отсюда никоим образом не следует, что в переводе должно быть два подлежащих. По сути индоевропейских языков (тюркский язык, кстати, напоминает по синтаксису современный английский и более древний русский — вплоть до буквальных совпадений) второй именительный должен соответствовать творительному, а слово Jаш — это отнюдь не часть имени. Вероятно, это причастие (главное сказуемое, что возможно и в русском языке), однокоренное с известным словом яшлы (ясли, кормушка). Да, ясли имеют, конечно, некоторое отношение к молодости, но не прямое. Не ясно, откуда Малов взял это значение слова.

Учтя сказанное, получим в переводе формально верную конструкцию, но неоднозначную. Вот перевод с сохранением порядка слов и синтаксических связей: Под геройским именем вскормлен Ак-баш я. И в переводе, и в подлиннике не ясны синтаксические связи: то ли Я, ак-баш, вскормлен под геройским именем (возможно, иным, т.е. ак-баш не собственное имя), то ли Я вскормлен под геройским именем Ак-баш (Белая голова, башка). Налицо неоднозначное высказывание, т.е. нелогичное.

Из приведенного примера предельно, кажется, ясно, что логичность высказывания — это, прежде всего, его однозначность. В связи с этим вспомним «формальную» логику, «математическую», поклонники которой вполне осознанно отказались от здравого смысла, причинно-следственных связей,— в том числе, следовательно, от естественной проверки высказывания на истинность. Разве это нормально?

На деле логичность высказывания далеко не всегда можно установить формальным путем. Пример приведен выше — двойной именительный падеж, члены которого по форме друг от друга не отличаются. И как же тогда без обращения к смыслу сказанного выделить подлежащее и его определение, первый именительный и второй? Увы, никак. То же самое касается и прочих двойных падежей, например постави мя попа. Это тоже неформальная конструкция, в которой невозможно отличить дополнение от определения без обращения к смыслу высказывания. Собственно, понятно, почему это допустимо в строгих теориях, грамматиках: логичность высказывания — это не только его однозначность, но и осмысленность, действительность, не так ли?

Стало быть, логичное высказывание должно быть не только однозначным, но и осмысленным, действительным, определенным в математическом смысле.

Неоднозначное же высказывание просто в принципе нельзя считать истинным — заведомо. Для примера заведомо ложного высказывания сформулируем в виде предложения суть т.н. норманнской теории русской истории: шведы, на самом деле именуемые варяги, поработили славян и дали им свое имя — русские. Разве это однозначное высказывание? Объект шведы, который должен иметь одно значение, имеет целых три значения, причем два из них откровенным образом вымышлены: ни варягами, ни русскими шведов никто и никогда не называл. Можно ли эту псевдошизофреническую ахинею принимать всерьез? А ведь некоторые принимают, причем даже те, кто считают себя учеными, историками… Ну, и можно ли после этого утверждать, что существует некая общепринятая логика? Я бы даже больше сказал: можно ли после этого утверждать, что нормальные психически люди не склонны подражать больным шизофренией?

На примере перевода т.н. норманнской теории в высказывание мы видим, что неоднозначной функция будет и в том случае, если двум значениям аргумента соответствует одно значение функции — не два одинаковых, а именно одно. Стало быть, любое неоднозначное высказывание заведомо алогично. Кажется, это просто и очевидно, но если рассматриваемая задача будет сложнее элементарного высказывания, то вся простота улетучится мгновенно. Пример выше приведен — норманнская теория, принимают которую отнюдь не одни только дураки и шизофреники.

Изложенные выше в предельно простом и сжатом виде главные основания логики высказываний — это, конечно, чрезвычайно любопытно и, главное, свежо, но гораздо более любопытны основания логики теорий. Дело в том, что наука строится не «на фактах», как полагают люди невежественные, а на теориях, т.е. интерпретациях того или иного набора фактов, в идеале выполненных по правилам, правильно, как сказано выше. Да, но во всех ли случаях доступен нам идеал? Ну, разве мало у нас даже откровенно шизофренических теорий вроде т.н. новой хронологии или параноидно-шизофренических измышлений Виктора Суворова? Увы, достаточно. Да, в научный оборот подобная ахинея попадает далеко не всегда, но разве от того острота проблемы снижается?

Применительно к теории часто говорят о ее непротиворечивости, но по сути это слово в данном случае равно слову однозначность. Например, норманнская теория, суть которой изложена выше, противоречива, но противоречие-то возникает в силу показанной выше неоднозначности.

Теорией можно считать множество высказываний, сложное или простое, все равно, но множество это должно иметь смысл, значение. Даже набор нескольких связанных утверждений, имеющий смысл, можно считать теорией. Это хорошо видно на примере парадоксов от «математических логиков».

Рассмотрим для примера парадокс брадобрея:

Парадокс брадобрея: Единственному деревенскому брадобрею приказали в деревне: «Брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется». Кто побреет брадобрея?


Ну, понятно, что брадобрей в любом случае нарушит приведенный приказ — если будет брить себя сам и если не будет.

Набор этих утверждений следовало бы назвать не парадоксом, а противоречивой теорией, причем противоречивость ее построена на неоднозначности. Вдумайтесь.

Возможность построения парадоксов никоим образом не значит ущербности общей теории (логики), средствами которой они построены, например грамматики для парадокса брадобрея. Дело в том, что логичность или нелогичность теоретических средств определяется рассмотрением не построенных на их основе частных теорий, противоречивых или нет, а их самих, формул. Например, возможность построения парадоксов на русском языке никоим образом не говорит о противоречивости грамматики русского языка, так как парадоксы к грамматике не имеют вообще никакого отношения. Совсем другое дело, если мы возьмем грамматическую форму, например двойной именительный падеж, и рассмотрим ее на логичность… Да, но тогда мы должны будем рассматривать отнюдь не частную противоречивую теорию вроде парадокса, а разного рода элементарные утверждения с двойным именительным, например он был хороший человек (хорошим человеком).

Возможность построения средствами общей теории уже не алогичных частных теорий, а просто ошибочных высказываний (неправильных) или недействительных, тоже, разумеется, никоим образом не свидетельствует о нелогичности общей теории: высказывания должны быть правильными и определенными (действительными).

Чисто технически построить частную теорию очень легко — достаточно, если она будет непротиворечива и действительна, т.е. не будет содержать неопределенностей и откровенных вымыслов. Ну, и разумеется, при построении ее следует пользоваться действительным методом — выводом, а не вымыслом. Новое логичное значение может быть получено только при помощи функционального преобразования — всё, больше никак.

В качестве примера неопределенной или даже недействительной теории можно привести теорию Дарвина, которая содержит неопределенное или даже недействительное центральное понятие естественный отбор, существование которого не доказано. Такая теория не может считаться истинной просто в принципе, однако же считается. Ну, и можно ли после этого утверждать, что существует некая общепринятая логика?

Еще одним примером неопределенной теории является теория Л.Н. Гумилева, в которой использовано неопределенное или недействительное центральное понятие пассионарность. Мы не знаем, что это такое и существует ли это явление вообще.

Еще одним примером недействительной теории являлась теоретическая физика девятнадцатого века, в которой использовалось недействительное понятие мировой эфир. Увы, это субстанция, которая не существует.

Недействительных и противоречивых частных теорий в науке, вероятно, не так уж и много, но все-таки они существуют. Наука, как сказано выше, построена на теориях, а иные теории в свою очередь — не столько на фактах, сколько на дикой, фанатичной вере в существование несуществующих вещей — мирового эфира, пассионарности, естественного отбора, сингулярности, торсионных полей, древнего народа по имени церковнославяне, классовой борьбы, невидимой руки рынка и так далее. Наверно, ни единый богомолец никогда не достигал таких страшных высот веры, как некоторые ученые.

Все теории можно поделить на истинные, ложные и неопределенные, незавершенные. Примеры последних приведены выше — теория естественного отбора Дарвина и теория пассионарности Гумилева. Мы не знаем, разрешима ли неопределенность в этих теориях, т.е. будет ли вложен действительный смысл в понятия естественный отбор и пассионарность, а потому эти теории пока не следует считать ложными, хотя и истинными их счесть невозможно… «Парадокс».

Проверка теории на истинность должна включать проверку на действительность ее понятий и методов, непротиворечивость ее понятий и методов, а также на правильность методов. Последнее достигается просто: правильным методом получения новых значений является вывод, функциональное преобразование, а все остальное — неверно. Так, следует избегать ассоциативной логики, присущей больным шизофренией. Скажем, если во Владивостоке на заборе сидит пять ворон и такой же забор с пятью воронами обнаружится в Калининграде, мы не можем считать этот забор одним и тем же — даже если произведем микроскопический анализ волокон забора. Такого рода патологические ассоциации к логичному выводу не имеют ни малейшего отношения. Кстати, этот метод очень любят авторы новой хронологии Носовский и Фоменко — вероятно, в силу психического заболевания одного из них.

Существуют математические теории, являющиеся недействительными с указанной выше точки зрения, т.е. не имеющие никакого или почти никакого соответствия в действительности. Подобный философский подход к познанию, в общем-то, допустим, и в данном случае следует проверять понятия и методы на определенность их в рамках теории. И разумеется, не следует даже пытаться применить недействительную теорию или метод к действительности. Так поступают только больные шизофренией.

Логические ошибки совершают все, даже знаменитый Ландау, как показано выше, да и наука постоянно развивается, обогащаясь открытиями, а потому никогда не следует воспринимать ту или иную научную теорию как последнее откровение истины. Познание неисчерпаемо, и мнящиеся сегодня нерушимыми истины завтра могут оказаться диким заблуждением. Ну, а чтобы чувствовать себя более или менее уверенно в изменчивом мире, следует критически воспринимать новые теории и вообще информацию — на основании хотя бы только рассказанного выше, самых простых и общих сведений о логичных и алогичных построениях.


[1] «К счастью, математика и логика не нуждаются в законах причинности». Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971, стр. 21 (примечание).

Зову живых