На сайте размещены статьи по русской истории, публицистика, философия, статьи по психологии, а также по грамматике русского и древнерусского языков, в частности – Слова о полку Игореве.

Дм. Добров

Учебник Колмогорова

Дм. Добров • 2 февраля 2012 г.
  1. Горе от ума
  2. История СССР
  3. Логика
А.Н. Колмогоров

В начале 70-х годов под руководством А.Н. Колмогорова была проведена реформа преподавания математики в средней школе, предполагавшая замену устаревших учебников в соответствии с принятой ранее новой программой по математике. Но в 1978 г. новшества встретили вдруг очень сильное противодействие со стороны научной среды, организаторы которого пожелали остаться неизвестными (скромность украшает ученого). Так, в конце 1978 г. состоялось общее собрание членов Отделения математики АН СССР, которое признало положение дел неудовлетворительным — вероятно, большинством голосов, не единогласно, конечно. В частности «неудовлетворительными» были названы не только новые школьные учебники, но и новая программа по математике для средней школы. Дикий этот выпад до сих пор не ясен, так как программа с тех пор принципиально не изменилась по сей день, но более никто из членов Академии против нее не выступал. 

Из публикаций того времени стал наиболее известен «критический сигнал» в журнал «Коммунист» академика Л.С. Понтрягина, поданный летом 1980 г. Статья эта вызывает просто огромное удивление своей взбалмошностью, почти полным отсутствием фактов, понятной мотивации автора и даже темы. Так, утверждая, что учебники переполнены тяжелым для восприятия учеников материалом, Понтрягин привел всего три примера, из которых в двух случаях его критика откровенно абсурдна (функция и уравнения), а в одном примитивно невежественна и тоже, конечно, абсурдна (вектор). С темой статьи тоже не все в порядке. Отчасти статья посвящена разгрому какой-то философской работы о математике, автор которой заботливо сокрыт от гнева общественности, и можно даже заключить, что причиной написания статьи стала эта философская работа, но вместе с тем речь в статье идет о школьных учебниках, причем об учебниках не по философии, а по математике. Вполне возможно, что академику Понтрягину это не казалось противоречивым, но я никакой логики здесь не вижу, связи: восприятие математики одним из советских философов, тем более не названным, совершенно никакого отношения к школьному курсу математики не имело — ни малейшего.

Очевидно, что разбор философской брошюры семилетней давности был притянут Понтрягиным в статью за уши, чтобы она хоть в малой степени соответствовала тематике журнала «Коммунист» (философия, экономика, политика), а значит, статья была заказная, именно для «Коммуниста». Иначе говоря, это был отнюдь не «сигнал». Из той же оперы абсурдное восхваление «гениальной работы» Энгельса «Антидюринг». Фу, ссылаться на Энгельса после того, как Сталин объявил его чуть ли не буржуазным националистом… Разумеется, философский уровень статьи Понтрягина не мог заинтересовать редакцию журнала «Коммунист», так как уровень этот нулевой: автор философской брошюры, не угодивший Понтрягину, просто был обвинен во лжи и глупости — совершенно немотивированно. Прочие же рассуждения словно из газет выписаны.

Л.С. Понтрягин

Понтрягин, конечно, не мог не понимать, что удар по школьным учебникам — это удар по Колмогорову. Разумеется, Колмогоров не мог стоять выше критики, критика его была допустима, но критические отзывы о работе математика в журнале «Коммунист» являлись не столько критикой, сколько предательским ударом в спину, попыткой насильно оборвать работу, чего Понтрягин не мог не понимать. Поскольку же действительные мотивы Понтрягина из статьи не ясны, темой он не владел, не имел даже возможности обдумать взбалмошные свои заявления, то возникает вопрос, с какой целью он написал статью и, особенно любопытно, с какой целью отдал ее именно в «Коммунист»? Главный же вопрос в том, почему в «Коммунисте» приняли к публикации статью Понтрягина, если к тематике журнала она не имела ни малейшего отношения? Сравнить это можно с тем, например, как если бы журнал о балете опубликовал статью «Боль животноводов» — совершенно не в тему, полный аут. «Коммунист» — это был теоретический и политический орган вещания ЦК КПСС, тематика которого к школе и просвещению ни имела ни малейшего отношения, а равно и к математике. Стало быть, действия редакции «Коммуниста» и Понтрягина остаются совершенно не ясными.

Начал свою статью Понтрягин без малейших предисловий (предисловие о полученном «критическом сигнале» дала редакция журнала):

Мое внимание привлекло в школьном учебнике определение вектора.

Вместо общепринятого и наглядного представления о нем как о направленном отрезке (именно такое определение, например, сохранилось и в «Политехническом словаре». М., «Советская энциклопедия», 1976, стр. 71) школьников заставляют заучивать следующее: «Вектором (параллельным переносом), определяемым парой (А, В) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка М отображается на такую точку М1, что луч ММ1 сонаправлен с лучом АВ и расстояние [ММ1] равно расстоянию |АВ|» [ссылка: В.М. Клопский, З.А. Скопец, М.И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. 6-е изд. М., «Просвещение», 1980, стр.42.].

В этом сплетении слов разобраться нелегко, а главное – оно бесполезно, поскольку не может быть применено ни в физике, ни в механике, ни в других науках.

Что же это? Насмешка? Или неосознанная нелепость? Нет, замена в учебниках многих сравнительно простых, наглядных формулировок на громоздкие, нарочито усложненные, оказывается, вызвана стремлением… усовершенствовать (!) преподавание математики.

Если бы приведенный мною пример был только досадным исключением, то ошибку, по-видимому, легко можно было бы устранить. Но, на мой взгляд, в подобное состояние, к сожалению, пришла вся система школьного математического образования…

Однако прежде, чем об этом говорить, целесообразно [?] высказать предварительные замечания о самой математике. Значение ее на наших глазах…


Прежде всего, хотелось бы понять, какое именно простое определение вектора было заменено на приведенное громоздкое, если до реформы школьная программа по математике не включала понятия о векторах? Понятие это, следовало бы сообщить к сведению академика Понтрягина, принадлежит физике, а в геометрии и вовсе не требуется. Дело в том, что геометрия — это статика с точки зрения физики, а вектором в физике определяется движение (или сила) — как и названным параллельным переносом. Не ясно, каким образом в воображении Понтрягина соотнеслись направленный отрезок и параллельный перенос всех точек плоскости на длину отрезка. Никой замены первого на второе не было и быть не могло — было привнесение в геометрию постороннего понятия на основаниях современной алгебры. Дело в том, что в определении использовано неверное слово из алгебраического определения вектора — пространство, хотя в данном случае следовало использовать слово плоскость. Ошибка эта очень естественна, так как в алгебре векторное пространство не геометрическая величина, а абстрактная (арифметическая). Поразительно, Понтрягин этого не заметил!

Об удачности привнесения в геометрию нового понятия и уместности его можно поспорить, но поскольку у Понтрягина на сей счет нареканий не возникло, то и говорить не о чем. Заметьте, не только грубейшая ошибка в простейшем определении, но и явный недостаток школьной программы, введение в геометрию нового понятия, противоречащего духу геометрии, почему-то ускользнул от недреманного ока Понтрягина — несмотря даже на то, что он-то в школе изучал геометрию по учебникам, в которых о векторах не было ни слова и пространство не рассматривалось (только фигуры на плоскости).

Вероятно, понятие вектор в смысле параллельный перенос было введено в геометрию, чтобы закрепить алгебраические представления об отображении, функции, а заодно для развития воображения. Ничего плохого в этом нет — наоборот. Что же касается мифической сложности определения, то и это вопрос спорный. Есть, например, удивительные люди, которые считают, что с маленькими детьми нужно разговаривать особым языком — ужасно коверкая слова, например: «Ти мой холосенький», словно так детям будет понятнее. Да будет ли понятнее? Кажется, это заметил Фрейд.

Что же касается сложной для восприятия абстракции, то ее в приведенном определении вектора нет. Недостаток приведенного определения только в том, что следовало бы указать, мол в физике вектор имеет иное значение, а в физических чертежах обозначается направленным отрезком, откуда и идет обозначение его в геометрии. Возможно, это просто не попало в цитату. В связи с этим отметим избыточный символизм мышления академика Понтрягина: символ не может служить определением обозначаемого им объекта, и считать его таковым — невежество. Идя по данному пути, физики должны строго определить вектор как «отрезок со стрелочкой на кончике, обозначающей его направление». Я повторю, «геометрический вектор» есть понятие бессмысленное, просто символ, стрелка, поэтому попытку ввести в геометрию осмысленное геометрическое понятие можно только приветствовать — тем более если оно работает на закрепление одного из основных понятий математики (функция, отображение).

Также несказанное удивление в критических замечаниях Понтрягина вызывает тот факт, что в указанном учебнике внимание его не привлекли геометрические операции с векторами как направленными отрезками — геометрическое сложение векторов по известным правилам треугольника и параллелограмма. Что же это? Насмешка? Или неосознанная нелепость?

Еще большее удивление вызывает тот факт, что определение вектора Понтрягин назвал бесполезным. Скажем, математическое определение функции, в отличие от самой функции, тоже не может быть применено ни в физике, ни в механике, ни в прочих науках. Но разве же это делает математическое определение функции бесполезным? Да, по методике Понтрягина выходит, что оно совершенно бесполезно и даже вредно. Что же это? Насмешка? Или неосознанная нелепость?

Увы, критика Понтрягина производит стойкое впечатление, что автор ее не математик, а не в меру эстетичный продавец обувного отдела. Поразительно, что невежественная его критика возымела некоторую силу, и в итоге понятия параллельный перенос и вектор потеряли связь, но оба остались в геометрии… Ну, о каком тут хорошем образовании можно говорить, если в геометрии используется выдуманное понятие параллельный перенос, не нужное и ни с чем не связанное? Ведь смысл этот параллельный перенос имеет только как определение геометрического вектора. Если же идея рассматривать геометрический вектор как операцию, определенную в действительном геометрическом пространстве по аналогии с алгеброй, кому-то показалась неверной или плохой, то хотелось бы услышать настоящую критику, а не эстетические замечания продавца обувного отдела.

Разгромив определение вектора, Понтрягин совершенно непоследовательно принялся за философа, который что-то написал о математике. В качестве победоносной артиллерии Понтрягин привлек Энгельса, высказывавшегося о математике. Чудовищно, первый раз в жизни вижу математика, который не знает или не хочет знать, что со времен Энгельса математика изменилась до неузнаваемости. Переход от Энгельса к врагу просвещения и науки поистине очарователен:

Поэтому несерьезными выглядят философствования типа, например, следующего: «Общепринято (?!– Л.П.) математику подразделять на следующие отрасли: чистую математику (или собственно математику), прикладную математику и метаматематику. В свою очередь, чистая математика подразделяется на формальную и содержательную математики». (Цитируется брошюра о «философских проблемах математики», выпущенная издательством «Знание». Не называю имени автора только потому, что брошюра вышла семь лет назад.) В математике нет «надматематических» (ведь «мета» по-гречески означает «вне», «за пределами») разделов (отраслей), равно как совершенно нелепо подразделять ее на «формальную» и «содержательную».


Там же.

Забавно будет сопоставить откровенно ложные эти утверждения Понтрягина с утверждениями Колмогорова:

Таким образом, сейчас мы имеем, по существу, не одну математику, а две: содержательно воспринимаемую и формализованную. Вторая реализуется в виде символических исчислений, формулам которых не приписывается никакого смысла. Что касается содержательных утверждений об этих исчислениях, то они относятся к особой науке, которой Гильберт дал название метаматематика. […]

Таким образом, нам предстоит разобраться во взаимных отношениях между четырьмя областями человеческой деятельности:

1) изучение реального мира и практическое воздействие на него,

2) содержательная математика,

3) формализованная математика,

4) метаматематика.


А.Н. Колмогоров. Математика – наука и профессия. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1988, стр. 231 – 232.

«Буржуазная» эта зараза, канторизм-гильбертизм, как назвали бы ее мудрые, но суровые сталинские соколы от науки, начала просачиваться к нам уже в конце жизни лучшего друга математиков. Первыми публикациями, насколько я могу судить по литературе, были следующие: Д. Гильберт. В. Аккерман. Основы теоретической логики. ИЛ, 1947 и С.К. Клини. Введение в метаматематику. ИЛ, 1957 (основами и введением обычно называются учебники или нечто в этом роде, повторение пройденного, т.е. уже в 1947 г. метаматематика у «буржуазов» была полноценной наукой). Ныне метаматематика более известна как математическая логика, причем в принадлежности к математике ей никто не отказывает.

Можно бы было подумать, что о математической логике (метаматематике) Понтрягин даже и не слыхивал, но нет, ниже он поминает ее:

Действительно, существует область математики, именуемая математической логикой, которая занимается изучением формальных математических высказываний, способов их построения, правилами вывода и тому подобными, точно определенными в строгом математическом смысле действиями. Из сказанного, однако, не следует, будто есть целый раздел математики, как изображает процитированный автор, названный им «формальной математикой», в котором специалисты заняты-де производством практически ненужных «высказываний» [именно тем и занимается математическая логика, а также все верные последователи Кантора, кантористы-гильбертисты]. Его деление «чистой математики» на «формальную и содержательную» не имеет никакого смысла и непонятно математикам [особенно Колмогорову, см. выше его деление математики на содержательную и формализованную]. Если же учесть, что он «перемешивает» и без того трудные математические понятия с туманными философскими формулировками, прибегает к неоправданным обобщениям, то просто диву даешься, какое пустословие можно выдавать за науку на страницах массового издания.


Л. Понтрягин. Указ. соч.

Забавно и даже анекдотично, что в порыве негодования против неизвестного философа Понтрягин весьма грамотно раскритиковал самого Гильберта:

Абстрактность математики – производное, следствие ее специфической природы, а не наоборот; абстракция есть логический акт, производный от содержательной деятельности; «форма как таковая» есть определенная содержательная предметная деятельность, состоящая в воспроизведении стороны предметов, явлений, процессов объективного мира; рассмотрение ее «самой по себе», вне этой предметной деятельности приводит в конце концов к отождествлению предмета науки с ее «языком», то есть к соскальзыванию в идеализм, в метафизику. Отождествление предмета теории с ее формальным аппаратом приводит к тому, что математика – в представлениях горе-философов – вырождается в лингвистику (подобно тому как аналогичная тенденция приводит теоретическую лингвистику, наоборот, к отождествлению с математикой).


Там же.

Точнее о «формализме» Гильберта и не скажешь, сиречь символизме, идеализме, метафизике (метаматематике). Это просто отлично. Да, но при чем же здесь Колмогоров и его учебники?

Чтобы понятно было, о чем речь, вот достоверное сказание одного из «математических логиков» о «формализме» Гильберта:

Наиболее известная разновидность формализма (многие вообще полагают, что это единственный вид формализма) выражена в позиции Гильберта. Основная его мысль состояла в том, что трансфинитные понятия математики [неопределенные, бесконечные] являются идеальными конструкциями человеческого разума. Он допускал, что существуют определенные «финитные» [определенные, конечные] интуитивные рассуждения, которые a priori [изначально, т.е. без опыта] абсолютно верны; трансфинитные понятия, не укладывающиеся в рамки таких рассуждений, он считал продуктами мысли, примерно так же относящимися к финитным интуитивным процессам, как мнимые числа к действительным. Мы можем свободно образовать такие идеальные продукты, подчиняясь только одному основному ограничению – не впадать в противоречия. Гильберт предложил метод установления непротиворечивости обычной математики [увы, это правда, уже есть «необычная» математика], основанный на рассмотрении языка, средствами которого формулируется математика. Этот язык нужно формулировать так полно и так точно, чтобы математические рассуждения можно было рассматривать как выводы согласно точно установленным правилам – правилам, которые являются механическими в том смысле, что правильность их применения можно проверить, рассматривая сами символы как конкретные физические объекты, безотносительно к тому значению, которое они могли бы или не могли бы иметь. Формализованные таким образом рассуждения должны были стать предметом нового раздела математики, который он назвал метаматематикой. В метаматематике Гильберт допускал только финитные, абсолютно определенные методы рассуждения. Его программа состояла в том, чтобы установить этими средствами непротиворечивость классической математики.


Х. Карри. Основания математической логики. М.: Мир, 1969, стр. 31.

Это символизм, а формализмом разумнее бы было назвать перевод высказываний на язык математики, придание им математической формы для логичного восприятия информации. Почему и в какой степени это важно, мы рассмотрим ниже на примере рассмотрения абсурдных вымыслов метаматематиков.

Оставив наконец в покое философию и случайно пораженного Гильберта, Понтрягин после некоторого словоизлияния о математике перешел к делу:

К числу таких запущенных дел принадлежит положение с математическим образованием в средней школе. Реформа преподавания, проведенная более 10 лет назад, привела его, на мой взгляд, к странному состоянию. Об этом мне уже довелось выступать на страницах газеты «Социалистическая индустрия» [ссылка: 21 марта 1979 года – статья «Этика и арифметика»], вместе с моими коллегами в журнале «Математика в школе» [ссылка: 1979, № 3].

Пищу для печальных раздумий дает письмо тринадцати старшеклассниц из Вильнюса, опубликованное в «Комсомольской правде» [ссылка: 12 марта 1978 года – «Бесталанные ученики?»], неубедительно, по-моему, прокомментированное. В нем было выражено настоящее отчаяние: «Нам никак не одолеть программу по математике… Многого не понимаем, зубрежкой не все возьмешь… Такие заумные учебники… Вот и ходим мы в «дебилах», как называют нас учителя…»

Однако всеобщая тревога возникла гораздо раньше. О преподавании математики заговорили повсюду, начиная с семей, в которых есть дети-школьники, и кончая высокими инстанциями. Родители обеспокоились, что, имея даже инженерное образование, они не понимают излагаемого в школе материала и не могут помочь своим детям в приготовлении уроков. Не ясен и смысл этого материала. Среди школьных педагогов – растерянность и недоумение по поводу новых программ. От многих из них мне приходится получать письма, в которых это выражено весьма эмоционально.


Там же.

Последний абзац — это явная ложь, т.е. некритически воспринятые академиком Понтрягиным высказывания (сплетни). Частица правды здесь есть, но интересно не это, не сплетни.

Некоторая проблема не в учебниках, а в самом предмете математики. Бегство математики от жизни в область чистых вымыслов началось с работы Н.М. Лобачевского «О началах геометрии» (1832), созданной, вероятно, раньше, в которой существовавшие геометрические аксиомы справедливо было объявлены произвольными ограничениями и построена геометрия, так сказать, на отрицательной кривизне пространства, в прямом противоречии с геометрией эллинской, школьной: через любую точку плоскости, не принадлежащую данной прямой, можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной. Некоторой аналогией представлениям Лобачевского является прямая дорога, уходящая за горизонт: в перспективе все параллельные дороге линии пересекаются, что отчасти соответствовало бы пространству Лобачевского, если бы было объективно, т.е. не зависело от нашего взгляда. И далее, после Лобачевского, через ряд лиц вроде Римана дело дошло до самого Кантора с его теорией множеств — в семидесятых годах девятнадцатого века. Построения Лобачевского принципиально отличаются от построений Кантора тем, что Лобачевский исследовал отнюдь не абстрактное пространство (алгебраическое), как Кантор и многие иные, хотя то и другое пространство является недействительным. 

Если Лобачевский еще руководствовался научной логикой, то логика Кантора и его последователей уже прямо иррациональна. Кантор и его сподвижники создали новый мир математических образов, в котором нет причины и следствия, нет времени и нет действия — ничего кроме самих образов. Для иллюстрации идеального сего мира рассмотрим теорему Кантора: число элементов множества М (мощность в оригинале, или кардинальное число) меньше, чем число элементов множества всех подмножеств множества М. Беда в том, что в функциональной логике, т.е. в том мировом порядке вещей, который почти все и считают логикой, данная теорема не только не выполняется, но и не имеет смысла. Представьте себе на столе три монеты по рублю. Если верить теореме Кантора, то число кучек, подмножеств, на которые вы сможете разложить три эти монеты, будет строго больше трех… Нет, конечно, этого не будет, так как данная алгебраическая система не рассматривалась Кантором как действительная — существующая во времени. Это иррациональная система, на основании которой и была построена иррациональная логика — помянутая выше метаматематика. Главная особенность метаматематики выше названа: причина и следствие в ней не существуют. В литературе они просто не упоминаются, хотя некоторые метаматематики провозглашают их чуть ли не абсурдом, математике и логике совершенно не нужным:

Иногда встречается некоторое не истинностно-функциональное понимание высказывания «если А, то В», связанное с законами причинности. Высказывание «если этот кусок железа положен в воду в момент времени t, то железо растворится» рассматривается как ложное даже в том случае, если кусок железа не положен в воду в момент времени t, т.е. даже если посылка ложна. Другое не истинностно-функциональное употребление связки «если…, то…» имеет место в так называемых контрфактических [так] условных предложениях, таких как содержательно ложное высказывание «если бы сэр Вальтер Скотт не написал ни одного романа, то не было бы гражданской войны в США». При истинностно-функциональном подходе это высказывание следовало бы признать истинным ввиду ложности посылки [так!]. К счастью, математика и логика не нуждаются в законах причинности и контрфактических условных предложениях.


Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971, стр. 21 (примечание).

Поразительная вещь, эти люди ни малейшего понятия не имели о причине и следствии, но взялись создавать логику, порядок вещей:

Трудность теперь заключается в определении термина ‘логическое следствие’. До тех пор пока этот термин не объяснен, вообще нельзя составить себе мнение о природе математики.


Х. Карри. Указ соч., стр. 30 – 31.

Логическое следствие — это значение функции, в математическом смысле функции. Но следствие в метаматематике, к сожалению, не существует, как и причина, да и понимание функции, как это ни поразительно, было утрачено. Это потрясающая вещь: люди, называющие себя математиками, не понимают, что такое функция… Для примера рассмотрим понимание нашими «логиками» одного из парадоксов, которым у них посвящена весьма обширная литература:

Парадокс лжеца. Этот парадокс известен в нескольких модификациях. Простейшая из них – парадокс, связанный с человеком, который говорит: «Я лгу»; если он лжет, то он говорит правду, и наоборот.


Х. Карри. Указ соч., стр. 23.

Как это ни смешно, без математической логики, настоящей логики, а не метаматематики, невозможно понять, что приведенный парадокс таковым не является. С формальной точки зрения приведенное утверждение выражает функцию, областью определения которой является ложь. Соответственно, функция действительна только в том случае, если человек лжет. Иначе говоря, существующая функция, определенная, является истинной, это правда, это по заданному правилу «лгать», а не существующая — ложной, против правила. Спрашивается, что тут не ясно с точки зрения даже выпускника средней школы? В чем именно состоит парадокс? В том ли, что слово лгать в выражении «я лгу» не совпадает со словом ложь, которым характеризуют проверку функции на истинность? А почему они должны совпадать, если это разные слова и даже разные понятия?

Для пояснения приведенного решения «парадокса» процитирую несколько строк из школьного учебника под редакцией Колмогорова:

Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. При этом если не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.


А.Н. Колмогоров. А.М. Абрамов. Б.Е. Вейц. О.С. Ивашев-Мусатов. Б.М. Ивлев. С.И. Шварцбурд. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9 – 10 классов средней школы. Издание седьмое. М.: Просвещение, 1987, стр. 19.

Грамматическое предложение — это тоже строгая формула (иначе бы мы не понимали друг друга), и сказуемое его, функция, тоже имеет свою область определения. Понятно, что ложь является определением только функции лгать, а потому, если человек лжет, функция имеет смысл, это правильно, истинно. В ином же случае, если человек не лжет, функция смысла не имеет, это неправильно, ложно.

Вот так, для разрешения «парадокса» достаточно бы было почитать школьный учебник по математике — и, конечно, совсем немного подумать. Вдумайтесь, сколь невежественные в математическом отношении люди эти метаматематики.

Разумеется, преподавание этого абсурда, метаматематики, если бы его действительно преподавали в школе, натолкнулось бы на полное непонимание и отторжение его учениками, но до этого, к счастью, пока не дошло — все впереди, так как мракобесие кантористов-гильбертистов давно уже свило себе уютное гнездышко в нашей высшей школе:

Из всех связок больше всего вопросов вызывает импликация. В самом деле, не очень понятно, почему надо считать, скажем, высказывания «если 2 × 2 = 5, то 2 × 2 = 4» и «если 2 × 2 = 5, то 3 × 3 = 1» истинными. (Именно так говорят наши таблицы: Л —> И = Л —> Л = И). Следующий пример показывает, что в таком определении есть смысл.

Общепризнано, что если число x делится на 4, то оно делится на 2. Это означает, что высказывание (x делится на 4) —> (x делится на 2) истинно при всех x.


Н.К. Верещагин. А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки исчисления. М., 2000, стр. 11.

Наиболее это любопытно с точки зрения психопатологии при исследовании индукции бредовых идей: любого человека можно заставить нести любую чушь, если авторитетно сообщить ему, что эта чушь есть вершина науки. Увы, это обман: канторизм-гильбертизм является не вершиной науки, а бельмом на ее глазу. 

Психически нормальный человек интуитивно понимает, чем является связка если — то, но объяснить, почему с интуитивной точки зрения выражение «если 2 × 2 = 5, то 2 × 2 = 4» является шизофреническим бредом, он не может. Вдумайтесь, ведь приведенное выражение не содержит вообще никакого следования, не так ли? Никакой связи между приведенными выражениями нет, друг из друга приведенные арифметические выражения никак не выводятся, но в «логике» они почему-то объявлены связанными. Почему же? Как это вообще могло прийти в голову психически нормальному человеку?

С формальной точки зрения связка если — то является функцией, выводом, отображением значения множества «если» на значение множества «то». Иначе говоря, множество «если» является областью определения множества «то». Да, но приведенное в пример сумасшедшее выражение, «если 2 × 2 = 5, то 2 × 2 = 4», функцией не является, отображением, причем не станет оно функцией даже в следующем случае: «если 3 × 3 = 9, то 2 × 2 = 4». Вместе с тем каждый понять способен, почему разложение множителя 4, на который делится число, дает нам делимость числа на 2, ведь 4 = 2 × 2. Любое число, делимое на 4, может быть представлено в следующем виде: 4 × a = 2 × 2 × a. Иначе говоря, если существует выражение 4 × a, то существует и равное ему выражение 2 × 2 × a, выведенное из него, являющееся его следствием. Да, но почему же действительным выводом подтверждают мнимый? Такая, значит, теперь логика? Увы, да.

Выступление Понтрягина можно бы было приветствовать, если бы критика его направлена была по адресу, а не на школьные учебники и Колмогорова. Дело в том, что критикуемый Понтрягиным «теоретико-множественный подход», как ни странно, следует отличать от вульгарного канторизма-гильбертизма. Понтрягин же и не думал отличать, буквально по правилу «два пишем, три на ум пошло»:

В современных условиях закономерно возросли требования к содержанию программ по математике и их конкретной реализации в учебниках. Осуществленный в последние годы пересмотр содержания школьного курса математики, включение в него элементов математического анализа, теории вероятностей и так далее можно в принципе рассматривать как явление прогрессивное. Однако в основу изложения авторы ныне действующих учебников положили теоретико-множественный подход, отличающийся повышенной степенью абстракции и предполагающий определенную математическую культуру, которой школьники не обладают и не могут обладать. Ее нет и у большинства преподавателей. Что же в итоге произошло? Искусственное усложнение учебного материала и непомерная перегрузка учащихся, внедрение формализма [напомню, гильбертизма, т.е. символизма] в содержание обучения и отрыв его от жизни, от практики. Многие важнейшие понятия школьного курса математики (такие, как понятия функции, уравнения, вектора и т.д.) стали труднодоступными для сознательного усвоения их учащимися.


Л. Понтрягин. Указ. соч.

Здесь, как я уже сказал, произошла подмена понятий: сам по себе множественный подход, без влияния мракобесов, не является абстрактным ни в малейшей степени — напротив, это весьма суровая конкретика.

Чтобы понять гибкость и силу теоретико-множественного подхода, а главное — смысловой его характер, рассмотрим задачу, которую привел некий человек, тоже проклинавший теоретико-множественный подход (дурной пример заразителен):

Установка «изжить» традиционное была внедрена реформой-70 в школу, она уничтожила классическую методику обучения решению систематизированных типовых задач, неторопливо и основательно развивавшую мышление детей. Это подтвердило международное исследование 1995 г. – лишь 37% восьмиклассников решили задачу: «В классе 28 человек. Отношение числа девочек к числу мальчиков равно 4/3. Сколько в классе девочек?» [16. С. 9]. До реформы, в 1949 г., подобные и более сложные задачи решали 83,5% пятиклассников [17. С. 5].


Что это за «международное исследование» не ясно, а потому и верить ему безоговорочно не стоит. Да и прочее чушь: школа должна учить не решению «типовых задач», формируя рефлексы решений, а размышлениям и общим методам достижения истины.

Чтобы решить предложенную задачу обычным путем, в лоб, придется формально составить систему из двух уравнений (х/у = 4/3 и х + у = 28) и далее формальным алгебраическим методом вычислить число девочек. Кстати, если верить приведенному исследованию, неспособность решить данную задачу говорит об отсутствии формальных представлений у учеников, но учебники Колмогорова могли только способствовать выработке у них формального мышления, в математике необходимого (увы, логика кантористов-гильбертистов имеет свои естественные истоки). Более же простым путем, с опорой на множества, задачу эту можно решить в уме за несколько секунд, причем осмыслено.

Нам дано отношение числа девочек к числу мальчиков, которое на фоне множества тех и других, класса, мы можем рассматривать как отношение вероятностей случайного выбора из класса девочки и мальчика. Обе же вероятности, как учили, дадут в сумме единицу. Поскольку при сложении дробей до единицы числитель получается равным знаменателю, мы легко высчитываем знаменатель: 4 + 3 = 7, т.е. вероятности будут 4/7 и 3/7, что в отношении и даст 4/3, а в сумме — единицу. Полученные вероятности будут, разумеется, пропорциональны числу учеников класса, а чтобы найти коэффициент пропорциональности, мы должны 28 поделить на 7, что даст 4. Далее легко получаем количество девочек, умножая числитель вероятности случайного выбора девочки на найденный коэффициент пропорциональности: 4 × 4 = 16. Это значит, что вероятность случайного выбора девочки будет 16/28 = 4/7. Число же мальчиков, соответственно, будет 28 – 16 = 3 × 4 = 12. Очень просто, задача почти мгновенно решается в уме (для примера решите эту задачу, изменив в условии числа на 27, 4 и 5), а трудность в понимании данного решения возможна только при незнании определения вероятности, которое мы можем легко прояснить тем же методом — теоретико-множественным.

Задумаемся над смыслом чисел в предложенной задаче. Отношение числа девочек или мальчиков к общему числу учеников класса, вероятность случайного выбора девочки или мальчика, дает нам по сути отношение подмножества к множеству (их кардинальных чисел, конечно, но я упрощаю). Мы получаем своего рода передаточное число множества относительно подмножества, отношение подмножество-множество — 16/28 и 12/28. Это будут доли девочек и мальчиков, но не в привычной десятичной системе счисления, а в кардинальной, по кардинальному числу множества. С десятичной же системой наша кардинальная совпадет в том случае, если в классе будет, например, 10 или 100 учеников. Стало быть, формально, но не символически мы можем определить вероятность случайного выбора из класса мальчика или девочки как долю мальчиков или девочек в кардинальной системе счисления, по основанию счета, которое равно кардинальному числу класса, количеству учеников. Хорошо ли понятно, что такое вероятность? Да, но что же помогло нам разобраться? Неужели наш подход к проблеме отличался «повышенной степенью абстракции»? Ну, не абсурдно ли это заклинание?

При помощи теории множеств мы формализовали понятие вероятность, выразили его в однозначных математических понятиях, не допускающих никакого толкования или, например, «нового прочтения», причем обошлись без символизма (гильбертизма) и даже без абстракций.

Самое понятие множество и азы теории множеств — это очень мощный логический инструмент, при помощи которого, как мы видели, можно решать задачи и определять математические понятия, причем на самом простом уровне, детском (вероятность, вообще-то, считается сложным понятием, оно не определено в математике, а теория вероятностей отнюдь не проста). Зачем же отказываться от прекрасного понятия множество? Следует лишь отделить его от абсурдных вымыслов Кантора, Гильберта и прочих метаматематиков.

Критика Понтрягиным учебников попросту анекдотична, поскольку в обличении канторизма-гильбертизма он рассуждает, как заядлый канторист-гильбертист:

Так же обстоит дело и с определением функции. Вместо того, чтобы сказать, что функция есть величина «игрэк», числовое значение которой можно найти, зная числовое значение независимой переменной «икс»,– что в общем виде записывается: у = f(х),– и дать ряд примеров ее при помощи формул, функцию определяют, по существу, как отображение одного множества на другое. Делается это, однако, в школьных учебниках куда сложнее: сперва вводится понятие отношения между элементами двух различных множеств, а потом говорится, что при выполнении некоторых условий, наложенных на это отношение, последнее является функцией.


Л. Понтрягин. Указ. соч.

Это типичная позиция кантористов-гильбертистов — определять функцию исключительно как правило вывода [1]. Это верно, но однобоко и узко, символично. Связано это определение с тем, вероятно, что метаматематика исключительно формальна, т.е. совершенно никакое смысловое и действительное наполнение ее понятий и не предполагается. Функций как таковых, как в математике, у метаматематиков вообще нет — есть лишь правила вывода значений, даже не формулы, а формуляры, заполняемые рукой вычислителя.

Как это ни смешно, абстрактным и, следовательно, менее понятным является именно определение функции от Понтрягина, а теоретико-множественное ее определение совсем не абстрактно, ни в малейшей степени. Чтобы объяснить ученикам суть функции на множествах, учитель может взять в одну руку несколько неотточенных карандашей, а в другую — несколько таких же отточенных, что и будет являть собой отображение множества на множество, выполненное преобразование исходных значений, функцию (вывод, верно, но по отношению к карандашам это слово не годится — следует пользоваться более широким значением). Определение же Понтрягина есть высочайшая абстракция — числа и символы, которые никакого вещественного наполнения не имеют. Так что же будет проще и, главное, понятнее? Вам что понятнее?

К сожалению, мракобес Понтрягин победил, и из школьных учебников исчезло слово отображение, теоретико-множественная концепция функции и основы теории множеств. Да, слово множество еще употребляется, но в бытовом смысле,— это мракобес разрешил; употребляется также не запрещенное слово соответствие. Этот невежественный выпад Понтрягина стал действительным ущербом нашему среднему образованию, мощным нападающим ударом по нему: функция теперь трактуется предельно узко и абстрактно — как правило вывода. Впрочем, нас ждет «математическая логика», а с ее точки зрения это очень даже верно. Осталось лишь удалить из определений слово соответствие.

Мракобес ли тупеет, тупость ли причина мракобесия, но тупость почему-то всегда налицо:

Новые учебники переполнены такого рода громоздкими, сложными, а главное, ненужными определениями. Математическое понятие уравнения стремятся свести к грамматическому понятию предложения. На бедные детские головы обрушивается понятие уравнения как «предложения с переменной» [ссылка: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.С. Муравин. Алгебра. Учебник для 6-го класса средней школы. М., "Просвещение", 1977, стр. 12.]. Наткнувшись на него, я никак не мог понять, что же это значит.

Примеры уже даются в учебнике для четвертого класса. Так, приводится «предложение»: «Река х впадает в Каспийское море». Далее разъясняют, что если вместо х подставить «Волга», то мы получим правильное утверждение, и, следовательно, «Волга» есть решение этого уравнения. Если же вместо х подставить «Днепр», то получится неверное утверждение, и потому «Днепр» не является решением этого уравнения [ссылка: Н.Я. Виленкин, К.И. Пешков, С.И. Шварцбурд, А.С. Чесноков, А.Д. Семушин. Математика. Учебник для 4-го класса средней школы. М., "Просвещение", 1979, стр. 39.].

Какое это имеет отношение к математике? У нее своя специфика, и нет надобности сводить ее к грамматическим понятиям. Однако этот факт в высшей степени симптоматичен, если вернуться к тому, что говорилось выше о «философии математики», готовой свести предмет математической теории к манипулированию ее «языком» – к «лингвистике».


Там же.

Нужно было, ей-богу, из ума выжить, чтобы заявить на основании приведенных примеров из учебников для шестого и даже для четвертого класса, что «математическое понятие уравнения стремятся свести к грамматическому понятию предложения», будто речь идет о научной работе, а не об аналогии для детей. Особенно же чудовищно последнее: надо же было додуматься сравнить учебник для детей с философской работой о математике. Любопытно, куда смотрел редактор?

В нападках своих Понтрягин пытался опорочить теоретико-множественный подход в школьных учебниках, но не задеть математику, ведь и сам он прежде наверняка активно пользовался понятием множество (в современной математике без него обойтись уже невозможно). Таким образом, нужно было и отругать теоретико-множественный подход, и защитить его, что получилось, разумеется, неуклюже, с выходом за рамки логики в лучших традициях канторизма-гильбертизма:

На определенном этапе развития математики высокоабстрактная теоретико-множественная концепция ввиду ее новизны стала модной, а увлечение ею – превалировать над конкретными исследованиями. Но теоретико-множественный подход – лишь удобный для математиков-профессионалов язык научных исследований. Действительная же тенденция развития математики заключается в ее движении к конкретным задачам, к практике. Современные школьные учебники по математике поэтому – шаг назад в трактовке этой науки, они несостоятельны по своему существу, поскольку выхолащивают суть математического метода.


Там же.

Понять это, конечно, затруднительно: при помощи абстрактного «увлечения», превалирующего «над конкретными исследованиями», но в то же время являющегося «языком исследований», математики движутся к «конкретным задачам, к практике». Вывод из абсурдного этого нагромождения слов тоже абсурден: учебники, использующие новый «язык научных исследований», математический метод представления информации, «выхолащивают суть математического метода». Странно, что редактор журнала «Коммунист» не попросил автора выразить свою мысль хоть немного яснее — исключительно для читателя, не подготовленного к крутым поворотам мысли, «формальным», т.е. не причинным.

Судя по фантастической этой изворотливости, целью Понтрягина была не истина, а именно учебники. Складывается стойкое впечатление, что хотел он только одного — свалить Колмогорова и отстранить от дела его сподвижников, чтобы освободить тепленькое местечко для новых авторов (многомиллионные тиражи — огромные гонорары). Цель его статьи прекрасно выражена в последних ее строках:

В Советском Союзе имеется блестящая плеяда первоклассных математиков [можно подумать, Колмогоров был «второклассный»], опытная армия высококвалифицированных педагогических кадров – совместными усилиями с органами народного образования они способны успешно решить задачу большой социальной значимости: повысить качество математической подготовки школьников и тем самым способствовать дальнейшим успехам высшего образования и науки страны развитого социализма.


Там же.

Что ж, каждый имеет право считать себя или своих приятелей лучше иного, даже Колмогорова. Страшно не это, а ложь, изливаемая на Колмогорова, в конце статьи дошедшая уже до безумия:

Четыре года назад крупнейший французский математик Жан Лёрэ, выступая в Рабате на первом панафриканском Математическом конгрессе, критически оценил постановку школьного дела в развитых капиталистических странах, отметив, что преподаватели и учебники там все с большим трудом передают детям те знания, которые им необходимы для жизни. Вот что сказал он о математике, преподаваемой в школах Франции:

«Развитие понятия множества в последнее время значительно расширило область применения и силу математических методов, но значит ли это, что преподавание математики юношам и девушкам должно быть основано на этом понятии, то есть проходить по схеме, принятой в прекрасном трактате Н. Бурбаки? Ответ может быть только отрицательным… Можно ли строить курс математики для юношества логически на теории множеств, то есть выразить сущность этой теории на простом и доступном языке? Во Франции это пытались сделать с самонадеянностью, основанной на непонимании, что не могло не привести к катастрофе…

Торжество методики, основанной на повторении многословных определений, имеет самые серьезные социальные последствия. С одной стороны, это отваживает от научного образования способных юношей, которые лишены привилегии иметь взрослого руководителя, способного объяснить им, что они правы, не понимая того, что им преподают, с другой стороны, это привлекает к занятиям как раз наименее способных и думающих учеников, которые учат наизусть и повторяют, не понимая смысла…

Извращенная ситуация, в которой оказалось преподавание математических дисциплин во Франции, в большей степени, чем в англо-саксонских странах, возникла из вполне законного стремления к прогрессу. Наши самые искренние и цельные реформаторы не сумели отстранить от этого дела шарлатанов, которые использовали их инициативу, например, тех, кто с легкостью написал толстые учебники, полные ошибок, и получил преимущественное право на их переиздание, то есть воспроизведение ошибок. Сами учителя были подготовлены интенсивной пропагандой… Методисты боятся потерять авторитет, если исправят допущенные ошибки.

Я прочел двум, сменившим один другого, министрам национального образования Франции основное содержание министерских инструкций, имеющих целью ошеломить наших детей научными определениями прямой… Они признали, что не понимают сами того, что предлагают в качестве обязательных инструкций, однако инструкций не отменили».

Приведенные слова невольно порождают желание провести параллельное сравнение [а что, бывает перпендикулярное?] с тем, что происходит с математикой в нашей школе. «Современные» учебники по математике, утвержденные Министерством просвещения СССР и миллионными тиражами выпускаемые издательством «Просвещение», напоминают по своему подходу учебники французских авторов, критикуемые Жаном Лёрэ.


Там же.
В.И. Арнольд

Нет, советские учебники ни в малейшей степени, даже по своему подходу, не напоминали упомянутые французские. Это откровенная клевета. Бурбакизм — это уже самое оголтелое воплощение канторизма-гильбертизма, дошедшее до совершенного безумия, причем в самом буквальном смысле, без малейшей натяжки. Несколько прекрасных страниц посвятил популярному описанию бурбакизма В.И. Арнольд:

Кроме положительности нуля, то же рассуждение устанавливает и его отрицательность (ибо нуль меньше нуля по французско-бурбакистской терминологии). Мои коллеги и ученики разъяснили мне, что нуль входит также и в множество неположительных чисел, а заодно и в множество неотрицательных чисел. Но Серр, кроме указанных неравенств, доказал еще одно свойство нуля: он оказывается вдобавок числом натуральным.

Вот это (поразительное, на мой взгляд) доказательство:

«Некоторые (намек на Арнольда.– В.А.) считают, что натуральные числа – это те, которые участвуют в натуральном (то есть естественном) счете: «один, два, три...». Но такой экспериментаторский подход ненаучен. С точки зрения нашей высокой науки, «естественный счет» никакого отношения к теории не имеет. Научное определение таково: «Натуральные числа – это мощности конечных множеств». А какое из конечных множеств – самое главное? Разумеется, пустое! Значит, его мощность, то есть нуль,– натуральное число!».

[…]

Раз уж я стал разбирать это руководство, процитирую из него еще одно место. Речь идет теперь об определении науки математики, чтобы студенты знали, что им предстоит:

«Математика есть наука о доказательствах, доказательства – это цепочки импликаций: (из А вытекает В, из В вытекает С) – цепочка; вывод: доказано, что из А вытекает С. Итак, самое главное – понять, что такое одна импликация. Вот ее определение. Пусть А и В – два произвольных высказывания. Если оба они верны, то говорят, что из А вытекает В».

На мой непросвещенный взгляд, такая точка зрения на импликации (а следовательно, и на доказательства, и на математику) – чистое мракобесие. При таком определении из того, что дважды два четыре, следует, что Земля вращается вокруг Солнца. Студента, понимающего выводы и доказательства подобным образом, уже бесполезно учить какой-либо естественной науке: мракобесие уничтожает естествознание как таковое. По этой мракобесной логике Галилея поделом наказывали: он ведь говорил о своих доказательствах вращения Земли и других подобных фактов совсем в другом смысле.


Именно, именно так, с точки зрения канторизма-гильбертизма приведенное выражение истинно: «Если дважды два четыре, то Земля вращается вокруг Солнца», что выше разобрано на примере из научной (увы) литературы.

Обратите внимание, как назвал метаматематическую импликацию очень известный математик, не знакомый, видимо, с азами канторизма-гильбертизма,— мракобесие и мракобесная логика.

В приведенном отрывке громадный интерес представляет доказательство Серра, который, по мнению В.И. Арнольда, лет двадцать руководил бурбакистами, т.е. он и был Николя Бурбаки. Почему-то Арнольд оставил доказательство без рассмотрения, полагая, вероятно, что его абсурдность очевидна. Да, очевидна, но именно потому мы и рассмотрим его с точки зрения логики.

Серр исходил из определения: натуральные числа — это мощности конечных множеств (мощность, напомню, есть кардинальное число, количество элементов конечного множества; это определение есть формализация понятия число). С точки зрения «высокой науки» нетрудно далее определить конечное множество как имеющее некое определенное число элементов, конечное, счетное. Сколько же определенных элементов, счетных, имеет пустое множество? Нисколько. Так почему же оно считается конечным и, мало того, главным из конечных? Ответ предельно прост, но нормальному психически человеку, не знакомому с забобонами новых «математиков», он не придет в голову: пустое множество является конечным потому, что оно не является бесконечным, а ведь все множества «высокая наука» делит на конечные и бесконечные. И ведь с точки зрения «логики» все верно: ложная посылка (не является) ведет к истинному высказыванию, как мы читали выше. Разумеется, данным методом с равным успехом можно было установить и то, что пустое множество является бесконечным,— как и в случае с нулем, который помянул Арнольд. Нет, это не математика, а сумасшедший дом.

Вот еще одно «доказательство» от школы Бурбаки из иной статьи Арнольда, причем уже с указанием на методику преподавания французской математической школы:

Французского школьника спросили: «Сколько будет 2 + 3?» Он ответил: «3 + 2, так как сложение коммутативно» (а сосчитать, что это 5, не мог). Основываясь на этом примере, министр науки и образования Франции хотел изгнать из школы математику.

Вот типичный пример задачи, с которой французские школьники легко справляются: «Доказать, что все поезда RER на планете Марс красно-синего цвета».

Вот образец решения:

Обозначим через Xn(Y) множество всех поездов системы Y на планете номер n (считая от Солнца, если речь идет о солнечной системе).

Согласно таблице, опубликованной CNRS там-то и тогда-то, планета Марс имеет в Солнечной системе номер 4. Множество X4(RER) пусто. Согласно теореме 999-в из курса анализа все элементы пустого множества обладают всеми наперёд заданными свойствами. Следовательно, все поезда RER на планете Марс красно-синего цвета.

Обучение математике, как своеобразной юридической казуистике, основанной на произвольно выбранных законах, начинается с самого раннего возраста: французских школьников учат, что любое вещественное число больше самого себя, что 0 – натуральное число, что всё общее и абстрактное важнее частного, конкретного. Студент четвертого курса одного из лучших парижских университетов спросил меня на письменном экзамене по теории динамических систем: «4/7 больше или меньше единицы?»

Вопрос об асимптотике решения дифференциального уравнения, который он решал, сводился к исследованию сходимости интеграла, зависящей от показателя в асимптотической формуле для подынтегральной функции. В результате сложных рассуждений и вычислений студент правильно вычислил нужный показатель. Но вот простым дробям его учил не я, и здесь он оказался беспомощным (пользоваться компьютером запрещалось). Разрезание яблока или пирога при обучении дробям заменили кольцом Гротендика.


В.И. Арнольд. Нужна ли в школе математика? // Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков». Дубна, сентябрь 2000. М.: Издательство МЦНМО, 2000.

Отметим ужасающее противоречие во французском учении: «все элементы пустого множества обладают всеми наперед заданными свойствами». Нет, пустое множество не имеет никаких элементов, почему оно и называется пустым, нулевым по кардинальному числу. Видимо, пустое множество представлялось французским математикам чем-то вроде пустой урны…

Обратите внимание, французский подход к изучению математики в приведенном отрывке указан — своеобразная юридическая казуистика, основанная на произвольно выбранных законах. И говорит это, критикует данный подход, один из учеников А.Н. Колмогорова. Так при чем же здесь Колмогоров? Да ведь обвинение Колмогорова в бурбакизме — это очевидная клевета. Не было бурбакизма в советских учебниках и быть не могло.

Подводя итог, следует заметить, что ущерб нашему среднему образованию нанесла отнюдь не реформа, ведь некоторый сбой в итоге перехода к новому естествен и закономерен, особенно при слабой подготовке учителей,— удар по образованию нанесли мракобесы вроде Понтрягина, дезориентировавшие своими глупыми нападками не только учителей, но и авторов учебников. Кроме дезориентации было и откровенное давление: помилуйте, даже в учебнике Колмогорова после нападок функция стала определяться через соответствие и без множеств. На других же влияние оказал авторитет мракобесов: если вы слушаете человека, увешанного орденами за профессиональные заслуги, то естественным образом воспринимаете сказанное им как высокий профессионализм, а не махровое мракобесие… Увы, бывает по-разному, причем не только с математиками. Вспомните, например, самых известных академических мракобесов двадцатого века — дорогой памяти Трофима Денисовича Лысенко и Николая Яковлевича Марра. Кто знает историю двадцатых годов, тот легко еще с десяток назовет. Так что Лев Семенович Понтрягин вовсе не одинок в именитой этой компании.

Вообще, надо заметить, что превращение математика в мракобеса на почве математики — это понятное явление. Операции с абстрактными величинами вовсе не настраивают на понимание действительного мира, действительной связи и сущности вещей, а развитых как личности математиков вроде Колмогорова не так уж и много. Посмотрите, например, о Гильберте в любой энциклопедии — очень известный математик, авторитет, но рассуждения его о связи и сущности вещей напоминают детский лепет, если не сразу сумасшедший дом. То же самое относится к Кантору и ко многим иным. Трагедия математики в том, я думаю, что она не является самостоятельной дисциплиной, в истоке это прикладная наука, но некоторые математики в наши времена вдруг вообразили, что могут делать открытия вне всякой связи с действительностью и стоящими перед наукой задачами. Случилось это, конечно, не вдруг — процесс медленно пошел с Лобачевского, как я сказал выше. У нас работа Лобачевского весьма реалистично была оценена как «безумные фантазии», отчего он вынужден был публиковать ее на немецком и французском языках — к восторгу Гаусса и, наверно, многих иных европейских математиков. Мне, конечно, возразят, что нельзя подходить к науке с примитивной меркой практической пользы, но математика — это не обычная наука, а логика науки. Если так дальше пойдет, то скоро мы будем жить по представленной выше «математической логике»: если дважды два равно четыре, то Земля вращается вокруг Солнца, причем «научное» это убеждение будет намного сильнее, чем известные убеждения католических отцов-радетелей, которых неустанно проклинают по сей день. Подобные «научные» выверты сознания уже можно встретить в научно-популярной литературе: если теория эволюции верна, то мир возник без причины, случайно, что вполне соответствует связкам «математической логики».

Я думаю, в немалой степени благодаря Понтрягину и компании, в обществе начали распространяться совершенно дикие слухи о проведенной реформе, возник даже совершенно демонический образ теоретико-множественного подхода, причем поверили в этот абсурд даже современники и участники событий:

Когда были обнародованы результаты приемных экзаменов, полученные абитуриентами, завершившими изучение математики на теоретико-множественной основе и пришедшими поступать в МГУ, МФТИ, МИФИ и другие престижные вузы (т.е. лучшими выпускниками наших школ), среди ученых-математиков АН СССР и преподавателей вузов началась паника. Было повсеместно отмечено, что математические знания выпускников школ страдают формализмом; навыки вычислений, элементарных алгебраических преобразований, решения уравнений фактически отсутствуют. Абитуриенты оказались практически неподготовленными к изучению математики в вузе.


Ю.М. Колягин. Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль. М.: Просвещение, 2001.

Знал бы Ю.М. Колягин, какую ужасающую чушь он повторяет вслед за болванами… Школьник, «страдающий формализмом»,— это отлично, это путь в профессиональную математику и к успеху, потому что без развитого формального мышления добиться хоть чего-нибудь в математике невозможно. Даже нарочно, путем углубленного изучения математики, развить у школьника формалистические наклонности отнюдь не так легко, как казалось невежественным сплетникам: к математике нужен талант. В итоге же педагогической ошибки развить формалистические наклонности невозможно просто в принципе — даже если понимать под формализмом примитивный гильбертизм, даже духу которого в учебниках, разумеется, не было.

Чтобы предельно понятно было, что такое формализм мышления и как он влияет на способность решать задачи, мыслить чисто математически, я предложу каждому попытаться решить следующую простейшую задачку на формальное мышление, которую я где-то слышал, не помню где: «Полторы курочки за полтора дня несут полтора яичка. Сколько несут три курочки за три дня?»— Человеку, «страдающему формализмом», на решение этой задачки понадобится несколько секунд (числа подобраны, ответ легко вычисляется в уме). Прикиньте, сколько будете решать ее человек, для которого, как для Ю.М. Колягина, формализм — это ругательство из газет. Полчаса с бумагой и карандашом? Да еще решит ли? А ведь задачка по уровню своему даже не для старших классов школы…

Пустой вопрос: кто же подбил Ю.М. Колягина на глупость? Понятное дело, все тот же Понтрягин:

Приведу мнение ученого, признанного специалиста в математике академика Л.С. Понтрягина (мнение, которое разделяли многие другие, не менее авторитетные ученые): «…на определенном этапе развития математики высокоабстрактная теоретико-множественная концепция ввиду ее новизны стала модной, а увлечение ею – превалировать над конкретными исследованиями. Но теоретико-множественный подход – лишь удобный для математиков-профессионалов язык научных исследований. Действительная же тенденция развития математики заключается в ее движении к конкретным задачам, к практике».

Но эта оценка прозвучала много позже, а тогда началась экспансия этих идей в массовую среднюю школу.


Там же.

Бездумно повторять эту чушь вслед за «признанным специалистом», конечно, не следовало: самому думать нужно, прежде чем что-либо сказать. Поди не теория относительности — разобраться можно. И тем более не следовало выдумывать, что эту чушь «разделяли многие другие, не менее авторитетные ученые»: множества, наверно, невозможно уже удалить из математики, это уже не мимолетное увлечение горстки эксцентриков «на определенном этапе» модной идеей. Так было около ста лет назад. Скажем, Пуанкаре называл идеи Кантора чуть ли не сумасшествием — верно по существу, ведь самая идея множеств существовала и до Кантора, хотя возобладала в математике, я думаю, именно благодаря ему и его поклонникам вроде Гильберта, Бертрана Рассела и многих других (у нас до революции тоже были поклонники, но большевики это дело пресекли, наверно, быстро — «буржуазная» наука). Вообще, Кантор, я думаю, оказал самое сильное влияние на математику за всю ее историю. И это действительный парадокс метаматематики.

Удаление из школьной программы предельно простого и мощного инструмента современной математики — это, говоря языком Понтрягина, «выхолащивание сути математического метода», невероятной силы нападающий удар по школьному образованию.

Что же касается критики Колмогорова вообще, не только от Понтрягина, то вся она находится за пределами действительности. Впечатление складывается такое, что критикующие не понимали предмета критики и не владели критикуемой темой вообще. Даже ученик Колмогорова Арнольд, критикуя его реформу [2], позволил себе чудовищное преувеличение: по его рассказу, Колмогоров якобы создал для десятилетних школьников определение угла на двадцати страницах на основаниях математической логики и теории множеств. Это явный абсурд: ни десятилетние, ни даже тринадцатилетние школьники не могли владеть понятиями математической логики и теории множеств (в частности это отношения эквивалентности и равномощность множеств). Доказательство чего-либо на данной основе слишком абстрактно, чтобы его можно было рассматривать в рамках школьного курса, да и выходило оно за рамки школьной программы. По сути дела, Колмогорову приписана логическая ошибка в простейшей задаче — ошибочный подход к решению на основании избыточных данных, не указанных в условии задачи (утвержденной школьной программе). Для математика его уровня, а таких единицы, это невозможно. В известном учебнике геометрии Колмогорова, написанном до нападок, определение полуплоскости и угла для шестиклассников дано естественным образом и занимает две с половиной страницы вместе с рисунками и всеми пояснениями.

Школьное образование и до реформы Колмогорова находилось не в лучшем состоянии. Сейчас же, благодаря мракобесам вроде Понтрягина, школьная математика отказалась от приобретенной было естественности и живости, превратившись в символизм — ладно бы еще на уровне Гильберта, но нет, на уровне детского сада, потому как уровень Гильберта слишком сложен для школы. Вот для примера современное определение функции, главного понятия школьного курса математики и одного из главных в математике:

Если дано числовое множество Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(х) с областью определения Х; пишут у = f(х), х Х. При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной.


А.Г. Мордкович. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Издание четвертое. М., 2002, стр. 66 — 67.

Слово множество здесь употреблено, разумеется, в бытовом смысле, а не как термин из формализующей теории. С точки зрения строгости и даже смысла здесь имеются недочеты и даже грубые ошибки (видимо, это допустимо, требования невысоки), но проблема не в них. Весь этот набор суждений можно заменить одним словом, причем определение от этого только выиграет,— формула. Если же обратиться к опыту кантористов-гильбертистов и использовать два слова, правило вывода, то это уж будет столь огромным словесным  роскошеством…

Задумаемся, однако же, о связи и сущности вещей. Нельзя подменить определение понятия его символом, как выше мы видели на примере определения вектора от Понтрягина. Что такое формула? Это символ функции, выражение ее, определенная ее запись на бумаге, как и направленный отрезок, выражающий на чертеже вектор. Приведенное же выше определение именно и разъясняет ученику, что такое правило вывода, формула, причем делает это не лучшим образом, как, наверно, и все прочие. Много ли в том смысла? Ведь это поэтический символизм, а не математика, но учебник-то ведь по математике, не так ли? 

Если же снова обратиться к опыту метаматематиков, который, как ни странно, все-таки имеет положительные стороны, то можно вспомнить одно из утверждений Гёделя, которое гласит, что теорию нельзя формализовать ее собственными средствами. Да, это очевидный факт: в языке это дает тавтологию, например если понятие масло определить как масляную субстанцию. Вспомним, что значит формализовать, на примере данного выше определения вероятности. Формализовать значит представить логично в терминах формализующей теории, в качестве которой при формализации вероятности мы использовали теорию множеств. Как ни странно, мы приходим к некоторому согласию с бурбакизмом: теория множеств может быть формализующей основой по меньшей мере для части традиционной математики, правда пользоваться этим следует без оголтелого фанатизма, присущего бурбакистам, который выше представлен, к сожалению, еще не во всей его красе.

Формализацию понятия функция мы можем видеть, например, в определении функции для шестого класса, забракованном мракобесами во главе с Понтрягиным:

Соответствие между множеством X и множеством Y, при котором каждому элементу множества X соответствует один и только один элемент множества Y, называется функцией.


Ю.Н. Макарычев. Н.Г. Миндюк. К.С. Муравин. Алгебра. Учебное пособие для 6-го класса средней школы. Под редакцией А.И. Маркушевича. Издание четвертое. М.: Просвещение, 1974, стр. 69.  

Можно добавить, что в записи это соответствие часто передается аналитической зависимостью, именно же формулой класса у = f(х), но суть от того не изменится. Здесь мы видим определение не символа функции, формулы у = f(х), а именно функции.

Далее, может быть в следующих классах, можно было сообщить ученикам, мол мы будем иметь дело с числовыми функциями, т.е. указанные множества Х и Y будут принадлежать множеству действительных чисел, и далее ввести строгое математическое определение действительной функции одного действительного переменного вместо той поэтики символизма, которую мы видели выше. Ну, что такое «независимая» и «зависимая переменная»? От чего или от кого она зависит или не зависит? От функции? Но разве можно в определении функции использовать понятия, которые определяются только через функцию? Ведь это тавтология: масло есть масляная субстанция. Кроме того, функция двух переменных выражается зависимостью рода у = f(х1, x2) — во всяком случае, до сих пор было так. Кроме того, каким образом «определенное число y» может быть переменным? Поразительно, автор учебника не помнил или не сумел сформулировать, что f(х) является значением функции f в точке х, следствием вывода f. Разве это не «формализм» в смысле ругательства из газет? Как видим, канторизм-гильбертизм свил себе уютное гнездышко и в средней школе. Детский сад еще, видимо, не охвачен новой «логикой», метаматематическим символизмом, но все впереди.

«Формалисты» в подобных случаях заявляют, что не надо цепляться к словам, ведь речь идет о высоком смысле, но нет, «формализм» этот в конце концов приведет к полной утрате смысла:

Рискуя быть понятым одними только математиками, я приведу всё же примеры ответов лучших кандидатов на профессорскую должность математика в университете в Париже весной 2002 года (на каждое место претендовало 200 человек).

Кандидат преподавал линейную алгебру в разных университетах уже несколько лет, защитил диссертацию и опубликовал с десяток статей в лучших математических журналах Франции.

Отбор включает собеседование, где кандидату предлагаются всегда элементарные, но важные вопросы (уровня вопроса «Назовите столицу Швеции», если бы предметом была география).

Итак, я спросил: «Какова сигнатура квадратичной формы xy

Кандидат потребовал положенные ему на раздумье 15 минут, после чего сказал: «В моём компьютере в Тулузе у меня есть рутина (программа), которая за час-другой могла бы узнать, сколько будет плюсов и сколько минусов в нормальной форме. Разность этих двух чисел и будет сигнатурой — но ведь вы даёте только 15 минут, да без компьютера, так что ответить я не могу, эта форма ху уж слишком сложна».

Для неспециалистов поясню, что, если бы речь шла о зоологии, то этот ответ был бы аналогичен такому: «Линней перечислил всех животных, но является ли берёза млекопитающей или нет, без книги ответить не могу».

Следующий кандидат оказался специалистом по «системам эллиптических уравнений в частных производных» (полтора десятка лет после защиты диссертации и более двадцати опубликованных работ).

Этого я спросил: «Чему равен лапласиан от функции 1/r в трёхмерном евклидовом пространстве?»

Ответ (через обычные 15 минут) был для меня поразительным: «Если бы r стояло в числителе, а не в знаменателе, и производная требовалась бы первая, а не вторая, то я бы за полчаса сумел посчитать её, а так – вопрос слишком труден».

Поясню, что вопрос был из теории эллиптических уравнений типа вопроса «Кто автор «Гамлета»?» на экзамене по английской литературе. Пытаясь помочь, я задал ряд наводящих вопросов (аналогичных вопросам об Отелло и об Офелии): «Знаете ли Вы, в чём состоит закон Всемирного тяготения? Закон Кулона? Как они связаны с лапласианом? Какое у уравнения Лапласа фундаментальное решение?»

Но ничего не помогало: ни Макбет, ни Король Лир не были известны кандидату, если бы шла речь о литературе.

Наконец, председатель экзаменационной комиссии объяснил мне, в чём дело: «Ведь кандидат занимался не одним эллиптическим уравнением, а их системами, а ты спрашиваешь его об уравнении Лапласа, которое всего одно – ясно, что он никогда с ним не сталкивался!»

В литературной аналогии это «оправдание» соответствовало бы фразе: «Кандидат изучал английских поэтов, откуда же ему знать Шекспира, ведь он – драматург!»


Это плоды бездумного просвещения — символического подхода к математике, неформального и бессмысленного. Именно к этому приведет постижение предметов, не имеющих для учащегося объективного смысла.

Мне кажется очевидным, что грамотная формализация понятия или даже теории ведет вовсе не к утрате смысла, а наоборот — к обретению смысла, причем для формализации может использоваться любое теоретическое понятие. Например, выше для формализации «парадокса» лжеца, который представляет собой простейшую теорию с мнимым противоречием, мы использовали самую функцию. Даже при решении задачи, совершенно бессмысленной с бытовой точки зрения, как приведенная выше задача про полторы курочки, формальный подход обеспечивает быстрое ее решение без вопросов и недоумений: 3/2 : 3/2 : 3/2 × 3 × 3 = 2/3 × 3 × 3 = 2 × 3 = 6.

Из сказанного, я полагаю, должно быть предельно ясно, в чем состояла одна из образовательных идей А.Н. Колмогорова. Неплохо также представлено выше лютое невежество в этих вопросах Л.С. Понтрягина. Вот и думайте, кто из них прав, кто хотел принести нашему образованию пользу, а кто принес ему вред.

Да, разумеется, положение дел в современной математике нельзя назвать определенным, научным: со временем математика, утрачивая четкие границы, все больше и больше напоминает бессмысленную идеалистическую философию, даже каббалистику, поклонение магическому символу с полной зависимостью от него, а потому вносить в школу каббалистические эти идеи следует, конечно, с великой осторожностью. Однако же Колмогоров, как мне кажется, меру знал, да и положение дел в современной математике представлял себе хорошо, см. выше.

В целом проблема, на мой взгляд, заключается только в самой математике, уже противостоящей действительности. Я думаю, общество, где Кантор считается великим математиком, а такова действительность, движется к упадку, разрушению. И бессмысленно ругать Кантора, объявлять теоретико-множественный подход проклятой заразой: толку не будет, а канторизм в итоге все равно окажется господствующим учением, как и случилось в мире математики. Заметьте, например, у нас при всем противодействии теоретико-множественному подходу канторизм-гильбертизм прочно утвердился в средней школе на своих позициях высшей ценности символа, даже самоценности его. Да и что могло ему помешать? Увы, к настоящему дню эта зараза охватила уже слишком многое, чтобы можно было безболезненно ее удалить из математики. Утешиться же остается только «логикой» метаматематики: ложная посылка необходимо ведет к истине.

Тоже интересно:

  1. Солженицын в школе
  2. Единый учебник истории
  3. Власть и народ

Зову живых